HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel 28724
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel
StepHypRef Expression
1 shsval 28722 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
21eleq2d 2892 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵))))
3 ax-hfvadd 28408 . . . 4 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4 ffn 6282 . . . 4 ( + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → + Fn ( ℋ × ℋ))
53, 4ax-mp 5 . . 3 + Fn ( ℋ × ℋ)
6 shss 28618 . . . 4 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
7 shss 28618 . . . 4 (𝐵S𝐵 ⊆ ℋ)
8 xpss12 5361 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ))
96, 7, 8syl2an 589 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ))
10 ovelimab 7077 . . 3 (( + Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ)) → (𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
115, 9, 10sylancr 581 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
122, 11bitrd 271 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wrex 3118  wss 3798   × cxp 5344  cima 5349   Fn wfn 6122  wf 6123  (class class class)co 6910  chba 28327   + cva 28328   S csh 28336   + cph 28339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-hilex 28407  ax-hfvadd 28408  ax-hvcom 28409  ax-hvass 28410  ax-hv0cl 28411  ax-hvaddid 28412  ax-hfvmul 28413  ax-hvmulid 28414  ax-hvdistr2 28417  ax-hvmul0 28418
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-ltxr 10403  df-sub 10594  df-neg 10595  df-grpo 27899  df-ablo 27951  df-hvsub 28379  df-sh 28615  df-shs 28718
This theorem is referenced by:  shsel3  28725  shseli  28726  shscom  28729  shsva  28730  shless  28769  pjhth  28803  pjhtheu  28804  pjpreeq  28808  pjpjpre  28829  chscllem4  29050  sumdmdii  29825  sumdmdlem  29828
  Copyright terms: Public domain W3C validator