HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel 29100
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel
StepHypRef Expression
1 shsval 29098 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
21eleq2d 2901 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵))))
3 ax-hfvadd 28786 . . . 4 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4 ffn 6503 . . . 4 ( + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → + Fn ( ℋ × ℋ))
53, 4ax-mp 5 . . 3 + Fn ( ℋ × ℋ)
6 shss 28996 . . . 4 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
7 shss 28996 . . . 4 (𝐵S𝐵 ⊆ ℋ)
8 xpss12 5557 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ))
96, 7, 8syl2an 598 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ))
10 ovelimab 7320 . . 3 (( + Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ)) → (𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
115, 9, 10sylancr 590 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
122, 11bitrd 282 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  wss 3919   × cxp 5540  cima 5545   Fn wfn 6338  wf 6339  (class class class)co 7149  chba 28705   + cva 28706   S csh 28714   + cph 28717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-sub 10870  df-neg 10871  df-grpo 28279  df-ablo 28331  df-hvsub 28757  df-sh 28993  df-shs 29094
This theorem is referenced by:  shsel3  29101  shseli  29102  shscom  29105  shsva  29106  shless  29145  pjhth  29179  pjhtheu  29180  pjpreeq  29184  pjpjpre  29205  chscllem4  29426  sumdmdii  30201  sumdmdlem  30204
  Copyright terms: Public domain W3C validator