HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel 31343
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel
StepHypRef Expression
1 shsval 31341 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
21eleq2d 2825 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵))))
3 ax-hfvadd 31029 . . . 4 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4 ffn 6737 . . . 4 ( + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → + Fn ( ℋ × ℋ))
53, 4ax-mp 5 . . 3 + Fn ( ℋ × ℋ)
6 shss 31239 . . . 4 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
7 shss 31239 . . . 4 (𝐵S𝐵 ⊆ ℋ)
8 xpss12 5704 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ))
96, 7, 8syl2an 596 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ))
10 ovelimab 7611 . . 3 (( + Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ)) → (𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
115, 9, 10sylancr 587 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
122, 11bitrd 279 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  wss 3963   × cxp 5687  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  (class class class)co 7431  chba 30948   + cva 30949   S csh 30957   + cph 30960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-ablo 30574  df-hvsub 31000  df-sh 31236  df-shs 31337
This theorem is referenced by:  shsel3  31344  shseli  31345  shscom  31348  shsva  31349  shless  31388  pjhth  31422  pjhtheu  31423  pjpreeq  31427  pjpjpre  31448  chscllem4  31669  sumdmdii  32444  sumdmdlem  32447
  Copyright terms: Public domain W3C validator