signstfveq0 - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem signstfveq0 34761

Description: In case the last letter is zero, the zero skipping sign is the same as the previous letter. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Nov-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signstfveq0.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)

**Assertion**
Ref	Expression
signstfveq0	⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏, ⨣ 𝑓,𝑖,𝑛,𝐹 𝑓,𝑊,𝑖,𝑛 𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛 𝑁,𝑎 𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁 𝑇,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛) 𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛) 𝐹(𝑗) 𝑁(𝑗) 𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏) 𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

**Proof of Theorem signstfveq0**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	eldifad 3895	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3		pfxcl 14631	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ)
5		1nn0 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℕ₀)
7	6	nn0red 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℝ)
8		2re 12246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ)
10		signstfveq0.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
11		lencl 14486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
13	10, 12	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
14	13	nn0red 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		1le2 12376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 2)
17		signsv.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
18		signsv.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
19		signsv.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
20		signsv.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
21	17, 18, 19, 20, 10	signstfveq0a 34760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
22		eluz2 12785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
23	21, 22	sylib 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
24	23	simp3d 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ≤ 𝑁)
25	7, 9, 14, 16, 24	letrd 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 𝑁)
26		fznn0 13564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
28	6, 25, 27	mpbir2and 719	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ (0...𝑁))
29		fznn0sub2 13580	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
31	10	oveq2i 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑁) = (0...(♯‘𝐹))
32	30, 31	eleqtrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
33		pfxlen 14637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
34	2, 32, 33	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
35		uz2m1nn 12864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
36	21, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
37	34, 36	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ)
38		nnne0 12202	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ≠ 0)
39		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = ∅ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (♯‘∅))
40		hash0 14320	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
41	39, 40	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = ∅ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = 0)
42	41	necon3i 2966	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ≠ 0 → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
43	38, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
44	37, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
45		eldifsn 4719	. . . 4 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅))
46	4, 44, 45	sylanbrc 589	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
47		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0)
48		0re 11137	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
49	47, 48	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
50	17, 18, 19, 20	signstfvn 34753	. . 3 ⊢ (((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
51	46, 49, 50	syl2anc 590	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
52	10	oveq1i 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1)
53	52	oveq2i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1))
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)))
55		lsw 14517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
56	55	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
57	10	eqcomi 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
58	57	oveq1i 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) − 1) = (𝑁 − 1)
59	58	fveq2i 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘(𝑁 − 1))
60	56, 59	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘(𝑁 − 1)))
61	60	s1eqd 14555	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)
62	61	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩)
63	54, 62	oveq12d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
64		eldifsn 4719	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
65	1, 64	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
66		pfxlswccat 14666	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
67	65, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
68	63, 67	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = 𝐹)
69	68	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)) = (𝑇‘𝐹))
70	69, 34	fveq12d 6834	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)))
71	13	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
72		1cnd 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
73	71, 72, 72	subsub4d 11527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
74		1p1e2 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
75	74	oveq2i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
76	73, 75	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
77		fzo0end 13704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
78	36, 77	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
79	76, 78	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
80	34	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (0..^(𝑁 − 1)))
81	79, 80	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))))
82	17, 18, 19, 20	signstfvp 34755	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))))) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
83	4, 49, 81, 82	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
84	68	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 = ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
85	84	fveq2d 6831	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘𝐹) = (𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
86	85	fveq1d 6829	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)))
87	34	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
88	87, 73	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
89	88, 75	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = (𝑁 − 2))
90	89	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
91	83, 86, 90	3eqtr4rd 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
92		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘0))
93		sgn0 15042	. . . . . 6 ⊢ (sgn‘0) = 0
94	92, 93	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
95	94	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
96	91, 95	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0))
97		uznn0sub 12814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
98	21, 97	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
99		eluz2nn 12829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
100	21, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
101		2rp 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
102	101	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ⁺)
103	14, 102	ltsubrpd 13009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) < 𝑁)
104		elfzo0 13646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 2) < 𝑁))
105	98, 100, 103, 104	syl3anbrc 1350	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁))
106	10	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
107	105, 106	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
108	17, 18, 19, 20	signstcl 34749	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
109	2, 107, 108	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
110	17, 18	signswrid 34742	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1} → (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
111	109, 110	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
112	96, 111	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
113	51, 70, 112	3eqtr3d 2782	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2934 ∖ cdif 3880 ∅c0 4261 ifcif 4454 {csn 4555 {cpr 4557 {ctp 4559 ⟨cop 4561 class class class wbr 5072 ↦ cmpt 5153 ‘cfv 6485 (class class class)co 7356 ∈ cmpo 7358 ℝcr 11028 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 < clt 11170 ≤ cle 11171 − cmin 11368 -cneg 11369 ℕcn 12165 2c2 12227 ℕ₀cn0 12428 ℤcz 12515 ℤ_≥cuz 12779 ℝ⁺crp 12933 ...cfz 13452 ..^cfzo 13599 ♯chash 14283 Word cword 14466 lastSclsw 14515 ++ cconcat 14523 ⟨“cs1 14549 prefix cpfx 14624 sgncsgn 15039 Σcsu 15639 ndxcnx 17154 Basecbs 17170 +_gcplusg 17211 Σ_g cgsu 17394

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2711 ax-rep 5199 ax-sep 5218 ax-nul 5228 ax-pow 5294 ax-pr 5362 ax-un 7678 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2718 df-cleq 2731 df-clel 2814 df-nfc 2888 df-ne 2935 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3064 df-rmo 3344 df-reu 3345 df-rab 3392 df-v 3433 df-sbc 3724 df-csb 3832 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3903 df-nul 4262 df-if 4455 df-pw 4531 df-sn 4556 df-pr 4558 df-tp 4560 df-op 4562 df-uni 4839 df-int 4878 df-iun 4923 df-br 5073 df-opab 5135 df-mpt 5154 df-tr 5180 df-id 5513 df-eprel 5518 df-po 5526 df-so 5527 df-fr 5571 df-we 5573 df-xp 5624 df-rel 5625 df-cnv 5626 df-co 5627 df-dm 5628 df-rn 5629 df-res 5630 df-ima 5631 df-pred 6252 df-ord 6313 df-on 6314 df-lim 6315 df-suc 6316 df-iota 6441 df-fun 6487 df-fn 6488 df-f 6489 df-f1 6490 df-fo 6491 df-f1o 6492 df-fv 6493 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-er 8633 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-card 9854 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-nn 12166 df-2 12235 df-n0 12429 df-xnn0 12502 df-z 12516 df-uz 12780 df-rp 12934 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-seq 13955 df-hash 14284 df-word 14467 df-lsw 14516 df-concat 14524 df-s1 14550 df-substr 14595 df-pfx 14625 df-sgn 15040 df-struct 17108 df-slot 17143 df-ndx 17155 df-base 17171 df-plusg 17224 df-0g 17395 df-gsum 17396 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694

This theorem is referenced by: (None)

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