signstfveq0 - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem signstfveq0 34080

Description: In case the last letter is zero, the zero skipping sign is the same as the previous letter. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Nov-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signstfveq0.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)

**Assertion**
Ref	Expression
signstfveq0	⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏, ⨣ 𝑓,𝑖,𝑛,𝐹 𝑓,𝑊,𝑖,𝑛 𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛 𝑁,𝑎 𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁 𝑇,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛) 𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛) 𝐹(𝑗) 𝑁(𝑗) 𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏) 𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

**Proof of Theorem signstfveq0**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	eldifad 3953	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3		pfxcl 14625	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ)
5		1nn0 12486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℕ₀)
7	6	nn0red 12531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℝ)
8		2re 12284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ)
10		signstfveq0.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
11		lencl 14481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
13	10, 12	eqeltrid 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
14	13	nn0red 12531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		1le2 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 2)
17		signsv.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
18		signsv.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
19		signsv.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
20		signsv.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
21	17, 18, 19, 20, 10	signstfveq0a 34079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
22		eluz2 12826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
23	21, 22	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
24	23	simp3d 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ≤ 𝑁)
25	7, 9, 14, 16, 24	letrd 11369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 𝑁)
26		fznn0 13591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
28	6, 25, 27	mpbir2and 710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ (0...𝑁))
29		fznn0sub2 13606	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
31	10	oveq2i 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑁) = (0...(♯‘𝐹))
32	30, 31	eleqtrdi 2835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
33		pfxlen 14631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
34	2, 32, 33	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
35		uz2m1nn 12905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
36	21, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
37	34, 36	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ)
38		nnne0 12244	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ≠ 0)
39		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = ∅ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (♯‘∅))
40		hash0 14325	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
41	39, 40	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = ∅ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = 0)
42	41	necon3i 2965	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ≠ 0 → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
43	38, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
44	37, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
45		eldifsn 4783	. . . 4 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅))
46	4, 44, 45	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
47		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0)
48		0re 11214	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
49	47, 48	eqeltrdi 2833	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
50	17, 18, 19, 20	signstfvn 34072	. . 3 ⊢ (((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
51	46, 49, 50	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
52	10	oveq1i 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1)
53	52	oveq2i 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1))
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)))
55		lsw 14512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
56	55	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
57	10	eqcomi 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
58	57	oveq1i 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) − 1) = (𝑁 − 1)
59	58	fveq2i 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘(𝑁 − 1))
60	56, 59	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘(𝑁 − 1)))
61	60	s1eqd 14549	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)
62	61	eqcomd 2730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩)
63	54, 62	oveq12d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
64		eldifsn 4783	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
65	1, 64	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
66		pfxlswccat 14661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
67	65, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
68	63, 67	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = 𝐹)
69	68	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)) = (𝑇‘𝐹))
70	69, 34	fveq12d 6889	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)))
71	13	nn0cnd 12532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
72		1cnd 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
73	71, 72, 72	subsub4d 11600	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
74		1p1e2 12335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
75	74	oveq2i 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
76	73, 75	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
77		fzo0end 13722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
78	36, 77	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
79	76, 78	eqeltrrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
80	34	oveq2d 7418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (0..^(𝑁 − 1)))
81	79, 80	eleqtrrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))))
82	17, 18, 19, 20	signstfvp 34074	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))))) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
83	4, 49, 81, 82	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
84	68	eqcomd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 = ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
85	84	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘𝐹) = (𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
86	85	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)))
87	34	oveq1d 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
88	87, 73	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
89	88, 75	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = (𝑁 − 2))
90	89	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
91	83, 86, 90	3eqtr4rd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
92		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘0))
93		sgn0 15034	. . . . . 6 ⊢ (sgn‘0) = 0
94	92, 93	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
95	94	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
96	91, 95	oveq12d 7420	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0))
97		uznn0sub 12859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
98	21, 97	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
99		eluz2nn 12866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
100	21, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
101		2rp 12977	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
102	101	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ⁺)
103	14, 102	ltsubrpd 13046	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) < 𝑁)
104		elfzo0 13671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 2) < 𝑁))
105	98, 100, 103, 104	syl3anbrc 1340	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁))
106	10	oveq2i 7413	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
107	105, 106	eleqtrdi 2835	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
108	17, 18, 19, 20	signstcl 34068	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
109	2, 107, 108	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
110	17, 18	signswrid 34061	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1} → (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
111	109, 110	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
112	96, 111	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
113	51, 70, 112	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2932 ∖ cdif 3938 ∅c0 4315 ifcif 4521 {csn 4621 {cpr 4623 {ctp 4625 ⟨cop 4627 class class class wbr 5139 ↦ cmpt 5222 ‘cfv 6534 (class class class)co 7402 ∈ cmpo 7404 ℝcr 11106 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 < clt 11246 ≤ cle 11247 − cmin 11442 -cneg 11443 ℕcn 12210 2c2 12265 ℕ₀cn0 12470 ℤcz 12556 ℤ_≥cuz 12820 ℝ⁺crp 12972 ...cfz 13482 ..^cfzo 13625 ♯chash 14288 Word cword 14462 lastSclsw 14510 ++ cconcat 14518 ⟨“cs1 14543 prefix cpfx 14618 sgncsgn 15031 Σcsu 15630 ndxcnx 17127 Basecbs 17145 +_gcplusg 17198 Σ_g cgsu 17387

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-tp 4626 df-op 4628 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-card 9931 df-pnf 11248 df-mnf 11249 df-xr 11250 df-ltxr 11251 df-le 11252 df-sub 11444 df-neg 11445 df-nn 12211 df-2 12273 df-n0 12471 df-xnn0 12543 df-z 12557 df-uz 12821 df-rp 12973 df-fz 13483 df-fzo 13626 df-seq 13965 df-hash 14289 df-word 14463 df-lsw 14511 df-concat 14519 df-s1 14544 df-substr 14589 df-pfx 14619 df-sgn 15032 df-struct 17081 df-slot 17116 df-ndx 17128 df-base 17146 df-plusg 17211 df-0g 17388 df-gsum 17389 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660

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