signstfveq0 - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem signstfveq0 34554

Description: In case the last letter is zero, the zero skipping sign is the same as the previous letter. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Nov-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signstfveq0.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)

**Assertion**
Ref	Expression
signstfveq0	⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏, ⨣ 𝑓,𝑖,𝑛,𝐹 𝑓,𝑊,𝑖,𝑛 𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛 𝑁,𝑎 𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁 𝑇,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛) 𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛) 𝐹(𝑗) 𝑁(𝑗) 𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏) 𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

**Proof of Theorem signstfveq0**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	eldifad 3988	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3		pfxcl 14725	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ)
5		1nn0 12569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℕ₀)
7	6	nn0red 12614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℝ)
8		2re 12367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ)
10		signstfveq0.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
11		lencl 14581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
13	10, 12	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
14	13	nn0red 12614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		1le2 12502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 2)
17		signsv.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
18		signsv.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
19		signsv.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
20		signsv.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
21	17, 18, 19, 20, 10	signstfveq0a 34553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
22		eluz2 12909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
24	23	simp3d 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ≤ 𝑁)
25	7, 9, 14, 16, 24	letrd 11447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 𝑁)
26		fznn0 13676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
28	6, 25, 27	mpbir2and 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ (0...𝑁))
29		fznn0sub2 13692	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
31	10	oveq2i 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑁) = (0...(♯‘𝐹))
32	30, 31	eleqtrdi 2854	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
33		pfxlen 14731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
34	2, 32, 33	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
35		uz2m1nn 12988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
36	21, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
37	34, 36	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ)
38		nnne0 12327	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ≠ 0)
39		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = ∅ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (♯‘∅))
40		hash0 14416	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
41	39, 40	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = ∅ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = 0)
42	41	necon3i 2979	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ≠ 0 → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
43	38, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
44	37, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
45		eldifsn 4811	. . . 4 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅))
46	4, 44, 45	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
47		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0)
48		0re 11292	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
49	47, 48	eqeltrdi 2852	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
50	17, 18, 19, 20	signstfvn 34546	. . 3 ⊢ (((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
51	46, 49, 50	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
52	10	oveq1i 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1)
53	52	oveq2i 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1))
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)))
55		lsw 14612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
56	55	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
57	10	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
58	57	oveq1i 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) − 1) = (𝑁 − 1)
59	58	fveq2i 6923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘(𝑁 − 1))
60	56, 59	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘(𝑁 − 1)))
61	60	s1eqd 14649	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)
62	61	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩)
63	54, 62	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
64		eldifsn 4811	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
65	1, 64	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
66		pfxlswccat 14761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
67	65, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
68	63, 67	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = 𝐹)
69	68	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)) = (𝑇‘𝐹))
70	69, 34	fveq12d 6927	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)))
71	13	nn0cnd 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
72		1cnd 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
73	71, 72, 72	subsub4d 11678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
74		1p1e2 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
75	74	oveq2i 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
76	73, 75	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
77		fzo0end 13808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
78	36, 77	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
79	76, 78	eqeltrrd 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
80	34	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (0..^(𝑁 − 1)))
81	79, 80	eleqtrrd 2847	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))))
82	17, 18, 19, 20	signstfvp 34548	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))))) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
83	4, 49, 81, 82	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
84	68	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 = ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
85	84	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘𝐹) = (𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
86	85	fveq1d 6922	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)))
87	34	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
88	87, 73	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
89	88, 75	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = (𝑁 − 2))
90	89	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
91	83, 86, 90	3eqtr4rd 2791	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
92		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘0))
93		sgn0 15138	. . . . . 6 ⊢ (sgn‘0) = 0
94	92, 93	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
95	94	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
96	91, 95	oveq12d 7466	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0))
97		uznn0sub 12942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
98	21, 97	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
99		eluz2nn 12949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
100	21, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
101		2rp 13062	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
102	101	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ⁺)
103	14, 102	ltsubrpd 13131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) < 𝑁)
104		elfzo0 13757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 2) < 𝑁))
105	98, 100, 103, 104	syl3anbrc 1343	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁))
106	10	oveq2i 7459	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
107	105, 106	eleqtrdi 2854	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
108	17, 18, 19, 20	signstcl 34542	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
109	2, 107, 108	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
110	17, 18	signswrid 34535	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1} → (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
111	109, 110	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
112	96, 111	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
113	51, 70, 112	3eqtr3d 2788	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ∖ cdif 3973 ∅c0 4352 ifcif 4548 {csn 4648 {cpr 4650 {ctp 4652 ⟨cop 4654 class class class wbr 5166 ↦ cmpt 5249 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ∈ cmpo 7450 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 -cneg 11521 ℕcn 12293 2c2 12348 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ℤ_≥cuz 12903 ℝ⁺crp 13057 ...cfz 13567 ..^cfzo 13711 ♯chash 14379 Word cword 14562 lastSclsw 14610 ++ cconcat 14618 ⟨“cs1 14643 prefix cpfx 14718 sgncsgn 15135 Σcsu 15734 ndxcnx 17240 Basecbs 17258 +_gcplusg 17311 Σ_g cgsu 17500

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-tp 4653 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-nn 12294 df-2 12356 df-n0 12554 df-xnn0 12626 df-z 12640 df-uz 12904 df-rp 13058 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-seq 14053 df-hash 14380 df-word 14563 df-lsw 14611 df-concat 14619 df-s1 14644 df-substr 14689 df-pfx 14719 df-sgn 15136 df-struct 17194 df-slot 17229 df-ndx 17241 df-base 17259 df-plusg 17324 df-0g 17501 df-gsum 17502 df-mgm 18678 df-sgrp 18757 df-mnd 18773

This theorem is referenced by: (None)

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