Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfveq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfveq0 33657
Description: In case the last letter is zero, the zero skipping sign is the same as the previous letter. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
signstfveq0.1 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
signstfveq0 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑁,π‘Ž   𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁   𝑇,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐹(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem signstfveq0
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
21eldifad 3960 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
3 pfxcl 14629 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Word ℝ)
42, 3syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Word ℝ)
5 1nn0 12490 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 1 ∈ β„•0)
76nn0red 12535 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 1 ∈ ℝ)
8 2re 12288 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 2 ∈ ℝ)
10 signstfveq0.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
11 lencl 14485 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
1310, 12eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1413nn0red 12535 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
15 1le2 12423 . . . . . . . . . . . 12 1 ≀ 2
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 1 ≀ 2)
17 signsv.p . . . . . . . . . . . . . 14 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
18 signsv.w . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
19 signsv.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
20 signsv.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
2117, 18, 19, 20, 10signstfveq0a 33656 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
22 eluz2 12830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁))
2321, 22sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝑁))
2423simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 2 ≀ 𝑁)
257, 9, 14, 16, 24letrd 11373 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 1 ≀ 𝑁)
26 fznn0 13595 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ β„•0 ∧ 1 ≀ 𝑁)))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ β„•0 ∧ 1 ≀ 𝑁)))
286, 25, 27mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 1 ∈ (0...𝑁))
29 fznn0sub2 13610 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0...𝑁))
3110oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (0...𝑁) = (0...(β™―β€˜πΉ))
3230, 31eleqtrdi 2843 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
33 pfxlen 14635 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) = (𝑁 βˆ’ 1))
342, 32, 33syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) = (𝑁 βˆ’ 1))
35 uz2m1nn 12909 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
3621, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
3734, 36eqeltrd 2833 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„•)
38 nnne0 12248 . . . . . 6 ((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) β‰  0)
39 fveq2 6891 . . . . . . . 8 ((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) = βˆ… β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) = (β™―β€˜βˆ…))
40 hash0 14329 . . . . . . . 8 (β™―β€˜βˆ…) = 0
4139, 40eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) = βˆ… β†’ (β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) = 0)
4241necon3i 2973 . . . . . 6 ((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) β‰  0 β†’ (𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
4338, 42syl 17 . . . . 5 ((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„• β†’ (𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
4437, 43syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
45 eldifsn 4790 . . . 4 ((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ↔ ((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) β‰  βˆ…))
464, 44, 45sylanbrc 583 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
47 simpr 485 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0)
48 0re 11218 . . . 4 0 ∈ ℝ
4947, 48eqeltrdi 2841 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
5017, 18, 19, 20signstfvn 33649 . . 3 (((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))) = (((π‘‡β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))))
5146, 49, 50syl2anc 584 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((π‘‡β€˜((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))) = (((π‘‡β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))))
5210oveq1i 7421 . . . . . . . 8 (𝑁 βˆ’ 1) = ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)
5352oveq2i 7422 . . . . . . 7 (𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) = (𝐹 prefix ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))
5453a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) = (𝐹 prefix ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
55 lsw 14516 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) β†’ (lastSβ€˜πΉ) = (πΉβ€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
5655ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (lastSβ€˜πΉ) = (πΉβ€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
5710eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 (β™―β€˜πΉ) = 𝑁
5857oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1)
5958fveq2i 6894 . . . . . . . . 9 (πΉβ€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))
6056, 59eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (lastSβ€˜πΉ) = (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
6160s1eqd 14553 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜πΉ)β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©)
6261eqcomd 2738 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(lastSβ€˜πΉ)β€βŸ©)
6354, 62oveq12d 7429 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = ((𝐹 prefix ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜πΉ)β€βŸ©))
64 eldifsn 4790 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…))
651, 64sylib 217 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…))
66 pfxlswccat 14665 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐹 prefix ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜πΉ)β€βŸ©) = 𝐹)
6765, 66syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((𝐹 prefix ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜πΉ)β€βŸ©) = 𝐹)
6863, 67eqtrd 2772 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = 𝐹)
6968fveq2d 6895 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (π‘‡β€˜((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©)) = (π‘‡β€˜πΉ))
7069, 34fveq12d 6898 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((π‘‡β€˜((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))β€˜(β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
7113nn0cnd 12536 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
72 1cnd 11211 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 1 ∈ β„‚)
7371, 72, 72subsub4d 11604 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (1 + 1)))
74 1p1e2 12339 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
7574oveq2i 7422 . . . . . . . . 9 (𝑁 βˆ’ (1 + 1)) = (𝑁 βˆ’ 2)
7673, 75eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
77 fzo0end 13726 . . . . . . . . 9 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
7836, 77syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
7976, 78eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
8034oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (0..^(β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))) = (0..^(𝑁 βˆ’ 1)))
8179, 80eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))))
8217, 18, 19, 20signstfvp 33651 . . . . . 6 (((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ Word ℝ ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))))) β†’ ((π‘‡β€˜((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = ((π‘‡β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
834, 49, 81, 82syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((π‘‡β€˜((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = ((π‘‡β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
8468eqcomd 2738 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 𝐹 = ((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
8584fveq2d 6895 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (π‘‡β€˜πΉ) = (π‘‡β€˜((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©)))
8685fveq1d 6893 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = ((π‘‡β€˜((𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
8734oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
8887, 73eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (1 + 1)))
8988, 75eqtrdi 2788 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
9089fveq2d 6895 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
9183, 86, 903eqtr4rd 2783 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
92 fveq2 6891 . . . . . 6 ((πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0 β†’ (sgnβ€˜(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = (sgnβ€˜0))
93 sgn0 15038 . . . . . 6 (sgnβ€˜0) = 0
9492, 93eqtrdi 2788 . . . . 5 ((πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0 β†’ (sgnβ€˜(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = 0)
9594adantl 482 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (sgnβ€˜(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = 0)
9691, 95oveq12d 7429 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (((π‘‡β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) ⨣ 0))
97 uznn0sub 12863 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
9821, 97syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
99 eluz2nn 12870 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
10021, 99syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
101 2rp 12981 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
102101a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ 2 ∈ ℝ+)
10314, 102ltsubrpd 13050 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) < 𝑁)
104 elfzo0 13675 . . . . . . 7 ((𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑁 βˆ’ 2) < 𝑁))
10598, 100, 103, 104syl3anbrc 1343 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^𝑁))
10610oveq2i 7422 . . . . . 6 (0..^𝑁) = (0..^(β™―β€˜πΉ))
107105, 106eleqtrdi 2843 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
10817, 18, 19, 20signstcl 33645 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ {-1, 0, 1})
1092, 107, 108syl2anc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ {-1, 0, 1})
11017, 18signswrid 33638 . . . 4 (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ {-1, 0, 1} β†’ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) ⨣ 0) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
111109, 110syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) ⨣ 0) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
11296, 111eqtrd 2772 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ (((π‘‡β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1)))β€˜((β™―β€˜(𝐹 prefix (𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜(πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
11351, 70, 1123eqtr3d 2780 1 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ (πΉβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 0) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Word cword 14466  lastSclsw 14514   ++ cconcat 14522  βŸ¨β€œcs1 14547   prefix cpfx 14622  sgncsgn 15035  Ξ£csu 15634  ndxcnx 17128  Basecbs 17146  +gcplusg 17199   Ξ£g cgsu 17388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-sgn 15036  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator