Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signswmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signswmnd 33637
Description: π‘Š is a monoid structure on {-1, 0, 1} which operation retains the right side, but skips zeroes. This will be used for skipping zeroes when counting sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsw.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsw.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
Assertion
Ref Expression
signswmnd π‘Š ∈ Mnd
Distinct variable group:   π‘Ž,𝑏, ⨣
Allowed substitution hints:   π‘Š(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem signswmnd
Dummy variables 𝑒 𝑒 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 signsw.p . . . . . 6 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
21signspval 33632 . . . . 5 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (𝑒 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑒, 𝑣))
3 ifcl 4573 . . . . 5 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ if(𝑣 = 0, 𝑒, 𝑣) ∈ {-1, 0, 1})
42, 3eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (𝑒 ⨣ 𝑣) ∈ {-1, 0, 1})
51signspval 33632 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ⨣ 𝑣) ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = if(𝑀 = 0, (𝑒 ⨣ 𝑣), 𝑀))
64, 5stoic3 1778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = if(𝑀 = 0, (𝑒 ⨣ 𝑣), 𝑀))
7 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 β†’ if(𝑀 = 0, (𝑒 ⨣ 𝑣), 𝑀) = (𝑒 ⨣ 𝑣))
86, 7sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ 𝑣))
98adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑣 = 0) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ 𝑣))
1023adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (𝑒 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑒, 𝑣))
1110ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑣 = 0) β†’ (𝑒 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑒, 𝑣))
12 iftrue 4534 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 0 β†’ if(𝑣 = 0, 𝑒, 𝑣) = 𝑒)
1312adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑣 = 0) β†’ if(𝑣 = 0, 𝑒, 𝑣) = 𝑒)
149, 11, 133eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑣 = 0) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = 𝑒)
15 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ 𝑒 ∈ {-1, 0, 1})
161signspval 33632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (𝑣 ⨣ 𝑀) = if(𝑀 = 0, 𝑣, 𝑀))
17163adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (𝑣 ⨣ 𝑀) = if(𝑀 = 0, 𝑣, 𝑀))
18 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) β†’ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1})
19 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1})
2018, 19ifclda 4563 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ if(𝑀 = 0, 𝑣, 𝑀) ∈ {-1, 0, 1})
2117, 20eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (𝑣 ⨣ 𝑀) ∈ {-1, 0, 1})
221signspval 33632 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ (𝑣 ⨣ 𝑀) ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)) = if((𝑣 ⨣ 𝑀) = 0, 𝑒, (𝑣 ⨣ 𝑀)))
2315, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)) = if((𝑣 ⨣ 𝑀) = 0, 𝑒, (𝑣 ⨣ 𝑀)))
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑣 = 0) β†’ (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)) = if((𝑣 ⨣ 𝑀) = 0, 𝑒, (𝑣 ⨣ 𝑀)))
25 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 0 β†’ if(𝑀 = 0, 𝑣, 𝑀) = 𝑣)
2617, 25sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) β†’ (𝑣 ⨣ 𝑀) = 𝑣)
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 0 β†’ 𝑣 = 0)
2826, 27sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑣 = 0) β†’ (𝑣 ⨣ 𝑀) = 0)
2928iftrued 4536 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑣 = 0) β†’ if((𝑣 ⨣ 𝑀) = 0, 𝑒, (𝑣 ⨣ 𝑀)) = 𝑒)
3024, 29eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑣 = 0) β†’ (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)) = 𝑒)
3114, 30eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑣 = 0) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)))
326ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = if(𝑀 = 0, (𝑒 ⨣ 𝑣), 𝑀))
337ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ if(𝑀 = 0, (𝑒 ⨣ 𝑣), 𝑀) = (𝑒 ⨣ 𝑣))
3410ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ (𝑒 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑒, 𝑣))
35 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑣 = 0 β†’ if(𝑣 = 0, 𝑒, 𝑣) = 𝑣)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ if(𝑣 = 0, 𝑒, 𝑣) = 𝑣)
3734, 36eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ (𝑒 ⨣ 𝑣) = 𝑣)
3832, 33, 373eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = 𝑣)
3923ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)) = if((𝑣 ⨣ 𝑀) = 0, 𝑒, (𝑣 ⨣ 𝑀)))
40 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ Β¬ 𝑣 = 0)
4117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ (𝑣 ⨣ 𝑀) = if(𝑀 = 0, 𝑣, 𝑀))
4225ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ if(𝑀 = 0, 𝑣, 𝑀) = 𝑣)
4341, 42eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ (𝑣 ⨣ 𝑀) = 𝑣)
4443eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ ((𝑣 ⨣ 𝑀) = 0 ↔ 𝑣 = 0))
4540, 44mtbird 324 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ Β¬ (𝑣 ⨣ 𝑀) = 0)
4645iffalsed 4539 . . . . . . . . . 10 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ if((𝑣 ⨣ 𝑀) = 0, 𝑒, (𝑣 ⨣ 𝑀)) = (𝑣 ⨣ 𝑀))
4739, 46, 433eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)) = 𝑣)
4838, 47eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) ∧ Β¬ 𝑣 = 0) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)))
4931, 48pm2.61dan 811 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 = 0) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)))
50 iffalse 4537 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑀 = 0 β†’ if(𝑀 = 0, (𝑒 ⨣ 𝑣), 𝑀) = 𝑀)
516, 50sylan9eq 2792 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = 𝑀)
5223adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)) = if((𝑣 ⨣ 𝑀) = 0, 𝑒, (𝑣 ⨣ 𝑀)))
53 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ Β¬ 𝑀 = 0)
54 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑀 = 0 β†’ if(𝑀 = 0, 𝑣, 𝑀) = 𝑀)
5517, 54sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ (𝑣 ⨣ 𝑀) = 𝑀)
5655eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ ((𝑣 ⨣ 𝑀) = 0 ↔ 𝑀 = 0))
5753, 56mtbird 324 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ Β¬ (𝑣 ⨣ 𝑀) = 0)
5857iffalsed 4539 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ if((𝑣 ⨣ 𝑀) = 0, 𝑒, (𝑣 ⨣ 𝑀)) = (𝑣 ⨣ 𝑀))
5952, 58, 553eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)) = 𝑀)
6051, 59eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ 𝑀 = 0) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)))
6149, 60pm2.61dan 811 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)))
62613expa 1118 . . . . 5 (((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑀 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)))
6362ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ βˆ€π‘€ ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)))
644, 63jca 512 . . 3 ((𝑒 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ {-1, 0, 1}) β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑣) ∈ {-1, 0, 1} ∧ βˆ€π‘€ ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀))))
6564rgen2 3197 . 2 βˆ€π‘’ ∈ {-1, 0, 1}βˆ€π‘£ ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑣) ∈ {-1, 0, 1} ∧ βˆ€π‘€ ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀)))
66 c0ex 11210 . . . 4 0 ∈ V
6766tpid2 4774 . . 3 0 ∈ {-1, 0, 1}
681signsw0glem 33633 . . 3 βˆ€π‘’ ∈ {-1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒 ⨣ 0) = 𝑒)
69 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑒 = 0 β†’ (𝑒 ⨣ 𝑒) = (0 ⨣ 𝑒))
7069eqeq1d 2734 . . . . 5 (𝑒 = 0 β†’ ((𝑒 ⨣ 𝑒) = 𝑒 ↔ (0 ⨣ 𝑒) = 𝑒))
7170ovanraleqv 7435 . . . 4 (𝑒 = 0 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒 ⨣ 𝑒) = 𝑒) ↔ βˆ€π‘’ ∈ {-1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒 ⨣ 0) = 𝑒)))
7271rspcev 3612 . . 3 ((0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ βˆ€π‘’ ∈ {-1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒 ⨣ 0) = 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ {-1, 0, 1}βˆ€π‘’ ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒 ⨣ 𝑒) = 𝑒))
7367, 68, 72mp2an 690 . 2 βˆƒπ‘’ ∈ {-1, 0, 1}βˆ€π‘’ ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒 ⨣ 𝑒) = 𝑒)
74 signsw.w . . . 4 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
751, 74signswbase 33634 . . 3 {-1, 0, 1} = (Baseβ€˜π‘Š)
761, 74signswplusg 33635 . . 3 ⨣ = (+gβ€˜π‘Š)
7775, 76ismnd 18630 . 2 (π‘Š ∈ Mnd ↔ (βˆ€π‘’ ∈ {-1, 0, 1}βˆ€π‘£ ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑣) ∈ {-1, 0, 1} ∧ βˆ€π‘€ ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑀) = (𝑒 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑀))) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ {-1, 0, 1}βˆ€π‘’ ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑒) = 𝑒 ∧ (𝑒 ⨣ 𝑒) = 𝑒)))
7865, 73, 77mpbir2an 709 1 π‘Š ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  ifcif 4528  {cpr 4630  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  0cc0 11112  1c1 11113  -cneg 11447  ndxcnx 17128  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  Mndcmnd 18627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628
This theorem is referenced by:  signstcl  33645  signstf  33646  signstf0  33648  signstfvn  33649
  Copyright terms: Public domain W3C validator