Theorem signswmnd 35297

Description: 𝑊 is a monoid structure on { -1, 0, 1} which operation retains the right side, but skips zeroes. This will be used for skipping zeroes when counting sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswmnd	⊢ 𝑊 ∈ Mnd

Distinct variable group:   𝑎,𝑏, ⨣

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signswmnd

Dummy variables 𝑢 𝑒 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsw.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2	1	signspval 35292	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑢 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣))
3		ifcl 4531	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) → if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣) ∈ { -1, 0, 1})
4	2, 3	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑢 ⨣ 𝑣) ∈ { -1, 0, 1})
5	1	signspval 35292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑢 ⨣ 𝑣) ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤))
6	4, 5	stoic3 1809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤))
7		iftrue 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤) = (𝑢 ⨣ 𝑣))
8	6, 7	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ 𝑣))
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ 𝑣))
10	2	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑢 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣))
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣))
12		iftrue 4491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 0 → if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣) = 𝑢)
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣) = 𝑢)
14	9, 11, 13	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = 𝑢)
15		simp1 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → 𝑢 ∈ { -1, 0, 1})
16	1	signspval 35292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤))
17	16	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤))
18		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) → 𝑣 ∈ { -1, 0, 1})
19		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ { -1, 0, 1})
20	18, 19	ifclda 4521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤) ∈ { -1, 0, 1})
21	17, 20	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑣 ⨣ 𝑤) ∈ { -1, 0, 1})
22	1	signspval 35292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ (𝑣 ⨣ 𝑤) ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)))
23	15, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)))
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)))
25		iftrue 4491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤) = 𝑣)
26	17, 25	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = 𝑣)
27		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 0 → 𝑣 = 0)
28	26, 27	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = 0)
29	28	iftrued 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)) = 𝑢)
30	24, 29	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = 𝑢)
31	14, 30	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
32	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤))
33	7	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤) = (𝑢 ⨣ 𝑣))
34	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣))
35		iffalse 4494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑣 = 0 → if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣) = 𝑣)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣) = 𝑣)
37	34, 36	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ 𝑣) = 𝑣)
38	32, 33, 37	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = 𝑣)
39	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)))
40		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ¬ 𝑣 = 0)
41	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤))
42	25	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤) = 𝑣)
43	41, 42	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = 𝑣)
44	43	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0 ↔ 𝑣 = 0))
45	40, 44	mtbird 328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ¬ (𝑣 ⨣ 𝑤) = 0)
46	45	iffalsed 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)) = (𝑣 ⨣ 𝑤))
47	39, 46, 43	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = 𝑣)
48	38, 47	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
49	31, 48	pm2.61dan 825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
50		iffalse 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤) = 𝑤)
51	6, 50	sylan9eq 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = 𝑤)
52	23	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ¬ 𝑤 = 0)
54		iffalse 4494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤) = 𝑤)
55	17, 54	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = 𝑤)
56	55	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = 0))
57	53, 56	mtbird 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ¬ (𝑣 ⨣ 𝑤) = 0)
58	57	iffalsed 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)) = (𝑣 ⨣ 𝑤))
59	52, 58, 55	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = 𝑤)
60	51, 59	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
61	49, 60	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
62	61	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
63	62	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) → ∀𝑤 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
64	4, 63	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ∈ { -1, 0, 1} ∧ ∀𝑤 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤))))
65	64	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1}∀𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ∈ { -1, 0, 1} ∧ ∀𝑤 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
66		c0ex 11339	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
67	66	tpid2 4733	. . 3 ⊢ 0 ∈ { -1, 0, 1}
68	1	signsw0glem 35293	. . 3 ⊢ ∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)
69		oveq1 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 ⨣ 𝑢) = (0 ⨣ 𝑢))
70	69	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ↔ (0 ⨣ 𝑢) = 𝑢))
71	70	ovanraleqv 7475	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 0 → (∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)))
72	71	rspcev 3580	. . 3 ⊢ ((0 ∈ { -1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)) → ∃𝑒 ∈ { -1, 0, 1}∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢))
73	67, 68, 72	mp2an 705	. 2 ⊢ ∃𝑒 ∈ { -1, 0, 1}∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢)
74		signsw.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
75	1, 74	signswbase 35294	. . 3 ⊢ { -1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
76	1, 74	signswplusg 35295	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
77	75, 76	ismnd 18976	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd ↔ (∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1}∀𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ∈ { -1, 0, 1} ∧ ∀𝑤 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤))) ∧ ∃𝑒 ∈ { -1, 0, 1}∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢)))
78	65, 73, 77	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ifcif 4485  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  0cc0 11239  1c1 11240   -cneg 11581  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Mndcmnd 18973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974

This theorem is used by:  signstcl  35305  signstf  35306  signstf0  35308  signstfvn  35309