Theorem signswmnd 35236

Description: 𝑊 is a monoid structure on { -1, 0, 1} which operation retains the right side, but skips zeroes. This will be used for skipping zeroes when counting sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswmnd	⊢ 𝑊 ∈ Mnd

Distinct variable group:   𝑎,𝑏, ⨣

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signswmnd

Dummy variables 𝑢 𝑒 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsw.p	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2	1	signspval 35231	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑢 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣))
3		ifcl 4527	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) → if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣) ∈ { -1, 0, 1})
4	2, 3	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑢 ⨣ 𝑣) ∈ { -1, 0, 1})
5	1	signspval 35231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑢 ⨣ 𝑣) ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤))
6	4, 5	stoic3 1808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤))
7		iftrue 4487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤) = (𝑢 ⨣ 𝑣))
8	6, 7	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ 𝑣))
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ 𝑣))
10	2	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑢 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣))
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣))
12		iftrue 4487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 0 → if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣) = 𝑢)
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣) = 𝑢)
14	9, 11, 13	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = 𝑢)
15		simp1 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → 𝑢 ∈ { -1, 0, 1})
16	1	signspval 35231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤))
17	16	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤))
18		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) → 𝑣 ∈ { -1, 0, 1})
19		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ { -1, 0, 1})
20	18, 19	ifclda 4517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤) ∈ { -1, 0, 1})
21	17, 20	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑣 ⨣ 𝑤) ∈ { -1, 0, 1})
22	1	signspval 35231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ (𝑣 ⨣ 𝑤) ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)))
23	15, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)))
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)))
25		iftrue 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤) = 𝑣)
26	17, 25	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = 𝑣)
27		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 0 → 𝑣 = 0)
28	26, 27	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = 0)
29	28	iftrued 4489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)) = 𝑢)
30	24, 29	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = 𝑢)
31	14, 30	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
32	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤))
33	7	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤) = (𝑢 ⨣ 𝑣))
34	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ 𝑣) = if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣))
35		iffalse 4490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑣 = 0 → if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣) = 𝑣)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → if(𝑣 = 0, 𝑢, 𝑣) = 𝑣)
37	34, 36	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ 𝑣) = 𝑣)
38	32, 33, 37	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = 𝑣)
39	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)))
40		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ¬ 𝑣 = 0)
41	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤))
42	25	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤) = 𝑣)
43	41, 42	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = 𝑣)
44	43	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0 ↔ 𝑣 = 0))
45	40, 44	mtbird 328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ¬ (𝑣 ⨣ 𝑤) = 0)
46	45	iffalsed 4492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)) = (𝑣 ⨣ 𝑤))
47	39, 46, 43	3eqtrd 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = 𝑣)
48	38, 47	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) ∧ ¬ 𝑣 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
49	31, 48	pm2.61dan 825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
50		iffalse 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, (𝑢 ⨣ 𝑣), 𝑤) = 𝑤)
51	6, 50	sylan9eq 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = 𝑤)
52	23	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ¬ 𝑤 = 0)
54		iffalse 4490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, 𝑣, 𝑤) = 𝑤)
55	17, 54	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑣 ⨣ 𝑤) = 𝑤)
56	55	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = 0))
57	53, 56	mtbird 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ¬ (𝑣 ⨣ 𝑤) = 0)
58	57	iffalsed 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → if((𝑣 ⨣ 𝑤) = 0, 𝑢, (𝑣 ⨣ 𝑤)) = (𝑣 ⨣ 𝑤))
59	52, 58, 55	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)) = 𝑤)
60	51, 59	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
61	49, 60	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
62	61	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑤 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
63	62	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) → ∀𝑤 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
64	4, 63	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑣 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑢 ⨣ 𝑣) ∈ { -1, 0, 1} ∧ ∀𝑤 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤))))
65	64	rgen2 3202	. 2 ⊢ ∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1}∀𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ∈ { -1, 0, 1} ∧ ∀𝑤 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤)))
66		c0ex 11307	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
67	66	tpid2 4727	. . 3 ⊢ 0 ∈ { -1, 0, 1}
68	1	signsw0glem 35232	. . 3 ⊢ ∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)
69		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 0 → (𝑒 ⨣ 𝑢) = (0 ⨣ 𝑢))
70	69	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 0 → ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ↔ (0 ⨣ 𝑢) = 𝑢))
71	70	ovanraleqv 7448	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 0 → (∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)))
72	71	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((0 ∈ { -1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((0 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 0) = 𝑢)) → ∃𝑒 ∈ { -1, 0, 1}∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢))
73	67, 68, 72	mp2an 705	. 2 ⊢ ∃𝑒 ∈ { -1, 0, 1}∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢)
74		signsw.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
75	1, 74	signswbase 35233	. . 3 ⊢ { -1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
76	1, 74	signswplusg 35234	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑊)
77	75, 76	ismnd 18935	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd ↔ (∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1}∀𝑣 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ∈ { -1, 0, 1} ∧ ∀𝑤 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑢 ⨣ 𝑣) ⨣ 𝑤) = (𝑢 ⨣ (𝑣 ⨣ 𝑤))) ∧ ∃𝑒 ∈ { -1, 0, 1}∀𝑢 ∈ { -1, 0, 1} ((𝑒 ⨣ 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 ⨣ 𝑒) = 𝑢)))
78	65, 73, 77	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ifcif 4481  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4834  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  0cc0 11207  1c1 11208   -cneg 11549  ndxcnx 17380  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  Mndcmnd 18932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933

This theorem is used by:  signstcl  35244  signstf  35245  signstf0  35247  signstfvn  35248