Theorem slmdvs1 33301

Description: Scalar product with ring unity. (ax-hvmulid 31097 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmdvs1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
slmdvs1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdvs1	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem slmdvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ SLMod)
2		slmdvs1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4		slmdvs1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5	2, 3, 4	slmd1cl 33300	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		slmdvs1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		slmdvs1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
15	8, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 4, 14	slmdlema 33284	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((( 1 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) ∧ (( 1 (+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋))) ∧ ((( 1 (.r‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))))
16	15	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((( 1 (.r‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊)))
17	16	simp2d 1144	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
18	1, 6, 6, 7, 7, 17	syl122anc 1382	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  ._rcmulr 17210  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  0_gc0g 17391  1_rcur 20151  SLModcslmd 33281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-srg 20157  df-slmd 33282

This theorem is referenced by: (None)