Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slmdvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slmdvs1 31760
Description: Scalar product with ring unit. (ax-hvmulid 29656 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
slmdvs1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
slmdvs1.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
slmdvs1.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
slmdvs1.u 1 = (1rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
slmdvs1 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem slmdvs1
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ SLMod)
2 slmdvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 eqid 2736 . . . 4 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
4 slmdvs1.u . . . 4 1 = (1rβ€˜πΉ)
52, 3, 4slmd1cl 31759 . . 3 (π‘Š ∈ SLMod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
65adantr 481 . 2 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
7 simpr 485 . 2 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 slmdvs1.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2736 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
10 slmdvs1.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 eqid 2736 . . . . 5 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
12 eqid 2736 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
13 eqid 2736 . . . . 5 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
14 eqid 2736 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
158, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 4, 14slmdlema 31743 . . . 4 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((( 1 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)( 1 Β· 𝑋)) ∧ (( 1 (+gβ€˜πΉ) 1 ) Β· 𝑋) = (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)( 1 Β· 𝑋))) ∧ ((( 1 (.rβ€˜πΉ) 1 ) Β· 𝑋) = ( 1 Β· ( 1 Β· 𝑋)) ∧ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))))
1615simprd 496 . . 3 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((( 1 (.rβ€˜πΉ) 1 ) Β· 𝑋) = ( 1 Β· ( 1 Β· 𝑋)) ∧ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š)))
1716simp2d 1142 . 2 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
181, 6, 6, 7, 7, 17syl122anc 1378 1 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  .rcmulr 17060  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247  1rcur 19832  SLModcslmd 31740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-srg 19837  df-slmd 31741
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator