Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slmdvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slmdvs1 30856
Description: Scalar product with ring unit. (ax-hvmulid 28768 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
slmdvs1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmdvs1.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdvs1.s · = ( ·𝑠𝑊)
slmdvs1.u 1 = (1r𝐹)
Assertion
Ref Expression
slmdvs1 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem slmdvs1
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . 2 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ SLMod)
2 slmdvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4 slmdvs1.u . . . 4 1 = (1r𝐹)
52, 3, 4slmd1cl 30855 . . 3 (𝑊 ∈ SLMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
65adantr 484 . 2 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7 simpr 488 . 2 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
8 slmdvs1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 eqid 2821 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 slmdvs1.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
11 eqid 2821 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
12 eqid 2821 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g𝐹)
13 eqid 2821 . . . . 5 (.r𝐹) = (.r𝐹)
14 eqid 2821 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
158, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 4, 14slmdlema 30839 . . . 4 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((( 1 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 · (𝑋(+g𝑊)𝑋)) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)) ∧ (( 1 (+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋))) ∧ ((( 1 (.r𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))))
1615simprd 499 . . 3 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((( 1 (.r𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊)))
1716simp2d 1140 . 2 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
181, 6, 6, 7, 7, 17syl122anc 1376 1 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  .rcmulr 16545  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692  1rcur 19230  SLModcslmd 30836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-srg 19235  df-slmd 30837
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator