Theorem slmdvs1 33760

Description: Scalar product with ring unity. (ax-hvmulid 31587 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmdvs1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
slmdvs1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdvs1	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem slmdvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ SLMod)
2		slmdvs1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4		slmdvs1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5	2, 3, 4	slmd1cl 33759	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		slmdvs1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		slmdvs1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
13		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
15	8, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 4, 14	slmdlema 33743	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((( 1 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) ∧ (( 1 (+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋))) ∧ ((( 1 (.r‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))))
16	15	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((( 1 (.r‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊)))
17	16	simp2d 1161	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
18	1, 6, 6, 7, 7, 17	syl122anc 1406	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17364  +_gcplusg 17405  ._rcmulr 17406  Scalarcsca 17408   ·_𝑠 cvsca 17409  0_gc0g 17587  1_rcur 20384  SLModcslmd 33740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11323  df-mnf 11324  df-xr 11325  df-ltxr 11326  df-le 11327  df-sub 11521  df-neg 11522  df-nn 12314  df-2 12383  df-sets 17319  df-slot 17337  df-ndx 17349  df-base 17365  df-plusg 17418  df-0g 17589  df-mgm 18793  df-sgrp 18885  df-mnd 18901  df-mgp 20338  df-ur 20385  df-srg 20390  df-slmd 33741

This theorem is used by: (None)