Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slmdvs1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem slmdvs1 32365
Description: Scalar product with ring unity. (ax-hvmulid 30259 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
slmdvs1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
slmdvs1.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
slmdvs1.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
slmdvs1.u 1 = (1rβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
slmdvs1 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Proof of Theorem slmdvs1
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ SLMod)
2 slmdvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
4 slmdvs1.u . . . 4 1 = (1rβ€˜πΉ)
52, 3, 4slmd1cl 32364 . . 3 (π‘Š ∈ SLMod β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
65adantr 482 . 2 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
7 simpr 486 . 2 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 slmdvs1.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
10 slmdvs1.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
11 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
12 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
13 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
14 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
158, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 4, 14slmdlema 32348 . . . 4 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((( 1 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)( 1 Β· 𝑋)) ∧ (( 1 (+gβ€˜πΉ) 1 ) Β· 𝑋) = (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)( 1 Β· 𝑋))) ∧ ((( 1 (.rβ€˜πΉ) 1 ) Β· 𝑋) = ( 1 Β· ( 1 Β· 𝑋)) ∧ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))))
1615simprd 497 . . 3 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((( 1 (.rβ€˜πΉ) 1 ) Β· 𝑋) = ( 1 Β· ( 1 Β· 𝑋)) ∧ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š)))
1716simp2d 1144 . 2 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
181, 6, 6, 7, 7, 17syl122anc 1380 1 ((π‘Š ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  1rcur 20004  SLModcslmd 32345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-slmd 32346
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator