Theorem slmdvs1 33359

Description: Scalar product with ring unity. (ax-hvmulid 31153 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmdvs1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
slmdvs1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdvs1	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem slmdvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ SLMod)
2		slmdvs1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4		slmdvs1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5	2, 3, 4	slmd1cl 33358	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6	5	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		slmdvs1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		slmdvs1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
13		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
15	8, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 4, 14	slmdlema 33342	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((( 1 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) ∧ (( 1 (+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋))) ∧ ((( 1 (.r‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))))
16	15	simprd 499	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((( 1 (.r‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊)))
17	16	simp2d 1155	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
18	1, 6, 6, 7, 7, 17	syl122anc 1397	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17226  +_gcplusg 17267  ._rcmulr 17268  Scalarcsca 17270   ·_𝑠 cvsca 17271  0_gc0g 17449  1_rcur 20208  SLModcslmd 33339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17280  df-0g 17451  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-mgp 20168  df-ur 20209  df-srg 20214  df-slmd 33340

This theorem is referenced by: (None)