Theorem slmdvs1 30335

Description: Scalar product with ring unit. (ax-hvmulid 28435 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
slmdvs1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmdvs1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
slmdvs1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
slmdvs1	⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem slmdvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ SLMod)
2		slmdvs1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4		slmdvs1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5	2, 3, 4	slmd1cl 30334	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
6	5	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7		simpr 479	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		slmdvs1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		slmdvs1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
12		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
13		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
14		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
15	8, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 4, 14	slmdlema 30318	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((( 1 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 · (𝑋(+g‘𝑊)𝑋)) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) ∧ (( 1 (+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋))) ∧ ((( 1 (.r‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))))
16	15	simprd 491	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((( 1 (.r‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊)))
17	16	simp2d 1134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
18	1, 6, 6, 7, 7, 17	syl122anc 1447	1 ⊢ ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  ._rcmulr 16339  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  0_gc0g 16486  1_rcur 18888  SLModcslmd 30315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-srg 18893  df-slmd 30316

This theorem is referenced by: (None)