Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slmdvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slmdvs1 30335
 Description: Scalar product with ring unit. (ax-hvmulid 28435 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
slmdvs1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
slmdvs1.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
slmdvs1.s · = ( ·𝑠𝑊)
slmdvs1.u 1 = (1r𝐹)
Assertion
Ref Expression
slmdvs1 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem slmdvs1
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . 2 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ SLMod)
2 slmdvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4 slmdvs1.u . . . 4 1 = (1r𝐹)
52, 3, 4slmd1cl 30334 . . 3 (𝑊 ∈ SLMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
65adantr 474 . 2 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7 simpr 479 . 2 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
8 slmdvs1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 eqid 2778 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
10 slmdvs1.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
11 eqid 2778 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
12 eqid 2778 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g𝐹)
13 eqid 2778 . . . . 5 (.r𝐹) = (.r𝐹)
14 eqid 2778 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
158, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 4, 14slmdlema 30318 . . . 4 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((( 1 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ( 1 · (𝑋(+g𝑊)𝑋)) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋)) ∧ (( 1 (+g𝐹) 1 ) · 𝑋) = (( 1 · 𝑋)(+g𝑊)( 1 · 𝑋))) ∧ ((( 1 (.r𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))))
1615simprd 491 . . 3 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((( 1 (.r𝐹) 1 ) · 𝑋) = ( 1 · ( 1 · 𝑋)) ∧ ( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊)))
1716simp2d 1134 . 2 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
181, 6, 6, 7, 7, 17syl122anc 1447 1 ((𝑊 ∈ SLMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  .rcmulr 16339  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  0gc0g 16486  1rcur 18888  SLModcslmd 30315 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-srg 18893  df-slmd 30316 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator