Theorem speccl 32288

Description: The spectrum of an operator is a set of complex numbers. (Contributed by NM, 11-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
speccl	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (Lambda‘𝑇) ⊆ ℂ)

Proof of Theorem speccl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		specval 32287	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (Lambda‘𝑇) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (𝑇 −op (𝑥 ·op ( I ↾ ℋ))): ℋ–1-1→ ℋ})
2		ssrab2 4037	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (𝑇 −op (𝑥 ·op ( I ↾ ℋ))): ℋ–1-1→ ℋ} ⊆ ℂ
3	1, 2	eqsstrdi 3984	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (Lambda‘𝑇) ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4  {crab 3419   ⊆ wss 3908   I cid 5560   ↾ cres 5668  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   ℋchba 31308   ·_op chot 31328   −_op chod 31329  Lambdacspc 31350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-hilex 31388

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-map 8835  df-spec 32244

This theorem is used by: (None)