Theorem speccl 31140

Description: The spectrum of an operator is a set of complex numbers. (Contributed by NM, 11-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
speccl	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (Lambda‘𝑇) ⊆ ℂ)

Proof of Theorem speccl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		specval 31139	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (Lambda‘𝑇) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (𝑇 −op (𝑥 ·op ( I ↾ ℋ))): ℋ–1-1→ ℋ})
2		ssrab2 4077	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ¬ (𝑇 −op (𝑥 ·op ( I ↾ ℋ))): ℋ–1-1→ ℋ} ⊆ ℂ
3	1, 2	eqsstrdi 4036	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (Lambda‘𝑇) ⊆ ℂ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  {crab 3433   ⊆ wss 3948   I cid 5573   ↾ cres 5678  ⟶wf 6537  –1-1→wf1 6538  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105   ℋchba 30160   ·_op chot 30180   −_op chod 30181  Lambdacspc 30202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-hilex 30240

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-map 8819  df-spec 31096

This theorem is referenced by: (None)