HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 316 of 470)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-29646)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(29647-31169)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31170-46966)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 31501-31600   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremfprodeq02 31501* If one of the factors is zero the product is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
(๐‘˜ = ๐พ โ†’ ๐ต = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0)
 
Theorempr01ssre 31502 The range of the indicator function is a subset of โ„. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
{0, 1} โŠ† โ„
 
Theoremfprodex01 31503* A product of factors equal to zero or one is zero exactly when one of the factors is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2021.)
(๐‘˜ = ๐‘™ โ†’ ๐ต = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ {0, 1})    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = if(โˆ€๐‘™ โˆˆ ๐ด ๐ถ = 1, 1, 0))
 
Theoremprodpr 31504* A product over a pair is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
(๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐ท = ๐ธ)    &   (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ท = ๐น)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต}๐ท = (๐ธ ยท ๐น))
 
Theoremprodtp 31505* A product over a triple is the product of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2022.)
(๐‘˜ = ๐ด โ†’ ๐ท = ๐ธ)    &   (๐‘˜ = ๐ต โ†’ ๐ท = ๐น)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)    &   (๐‘˜ = ๐ถ โ†’ ๐ท = ๐บ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‹)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐ด, ๐ต, ๐ถ}๐ท = ((๐ธ ยท ๐น) ยท ๐บ))
 
Theoremfsumub 31506* An upper bound for a term of a positive finite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
(๐‘˜ = ๐พ โ†’ ๐ต = ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ๐ถ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐ถ)
 
Theoremfsumiunle 31507* Upper bound for a sum of nonnegative terms over an indexed union. The inequality may be strict if the indexed union is non-disjoint, since in the right hand side, a summand may be counted several times. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต๐ถ โ‰ค ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
 
21.3.5.11  Decimal numbers
 
Theoremdfdec100 31508 Split the hundreds from a decimal value. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ๐ด๐ต๐ถ = ((100 ยท ๐ด) + ๐ต๐ถ)
 
21.3.6  Decimal expansion

Define a decimal expansion constructor. The decimal expansions built with this constructor are not meant to be used alone outside of this chapter. Rather, they are meant to be used exclusively as part of a decimal number with a decimal fraction, for example (3.14159).

That decimal point operator is defined in the next section. The bulk of these constructions have originally been proposed by David A. Wheeler on 12-May-2015, and discussed with Mario Carneiro in this thread: https://groups.google.com/g/metamath/c/2AW7T3d2YiQ.

 
Syntaxcdp2 31509 Constant used for decimal fraction constructor. See df-dp2 31510.
class ๐ด๐ต
 
Definitiondf-dp2 31510 Define the "decimal fraction constructor", which is used to build up "decimal fractions" in base 10. This is intentionally similar to df-dec 12552. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
๐ด๐ต = (๐ด + (๐ต / 10))
 
Theoremdp2eq1 31511 Equality theorem for the decimal expansion constructor. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
(๐ด = ๐ต โ†’ ๐ด๐ถ = ๐ต๐ถ)
 
Theoremdp2eq2 31512 Equality theorem for the decimal expansion constructor. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
(๐ด = ๐ต โ†’ ๐ถ๐ด = ๐ถ๐ต)
 
Theoremdp2eq1i 31513 Equality theorem for the decimal expansion constructor. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
๐ด = ๐ต    โ‡’   ๐ด๐ถ = ๐ต๐ถ
 
Theoremdp2eq2i 31514 Equality theorem for the decimal expansion constructor. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
๐ด = ๐ต    โ‡’   ๐ถ๐ด = ๐ถ๐ต
 
Theoremdp2eq12i 31515 Equality theorem for the decimal expansion constructor. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
๐ด = ๐ต    &   ๐ถ = ๐ท    โ‡’   ๐ด๐ถ = ๐ต๐ท
 
Theoremdp20u 31516 Add a zero in the tenths (lower) place. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    โ‡’   ๐ด0 = ๐ด
 
Theoremdp20h 31517 Add a zero in the unit places. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„+    โ‡’   0๐ด = (๐ด / 10)
 
Theoremdp2cl 31518 Closure for the decimal fraction constructor if both values are reals. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด๐ต โˆˆ โ„)
 
Theoremdp2clq 31519 Closure for a decimal fraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„š    โ‡’   ๐ด๐ต โˆˆ โ„š
 
Theoremrpdp2cl 31520 Closure for a decimal fraction in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    โ‡’   ๐ด๐ต โˆˆ โ„+
 
Theoremrpdp2cl2 31521 Closure for a decimal fraction with no decimal expansion in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•    โ‡’   ๐ด0 โˆˆ โ„+
 
Theoremdp2lt10 31522 Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    &   ๐ด < 10    &   ๐ต < 10    โ‡’   ๐ด๐ต < 10
 
Theoremdp2lt 31523 Comparing two decimal fractions (equal unit places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    &   ๐ถ โˆˆ โ„+    &   ๐ต < ๐ถ    โ‡’   ๐ด๐ต < ๐ด๐ถ
 
Theoremdp2ltsuc 31524 Comparing a decimal fraction with the next integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    &   ๐ต < 10    &   (๐ด + 1) = ๐ถ    โ‡’   ๐ด๐ต < ๐ถ
 
Theoremdp2ltc 31525 Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    &   ๐ท โˆˆ โ„+    &   ๐ต < 10    &   ๐ด < ๐ถ    โ‡’   ๐ด๐ต < ๐ถ๐ท
 
21.3.6.1  Decimal point

Define the decimal point operator and the decimal fraction constructor. This can model traditional decimal point notation, and serve as a convenient way to write some fractional numbers. See df-dp 31527 and df-dp2 31510 for more information; dpval2 31531 and dpfrac1 31530 provide a more convenient way to obtain a value. This is intentionally similar to df-dec 12552.

 
Syntaxcdp 31526 Decimal point operator. See df-dp 31527.
class .
 
Definitiondf-dp 31527* Define the . (decimal point) operator. For example, (1.5) = (3 / 2), and -(32.718) = -(32718 / 1000) Unary minus, if applied, should normally be applied in front of the parentheses.

Metamath intentionally does not have a built-in construct for numbers, so it can show that numbers are something you can build based on set theory. However, that means that Metamath has no built-in way to parse and handle decimal numbers as traditionally written, e.g., "2.54". Here we create a system for modeling traditional decimal point notation; it is not syntactically identical, but it is sufficiently similar so it is a reasonable model of decimal point notation. It should also serve as a convenient way to write some fractional numbers.

The RHS is โ„, not โ„š; this should simplify some proofs. The LHS is โ„•0, since that is what is used in practice. The definition intentionally does not allow negative numbers on the LHS; if it did, nonzero fractions would produce the wrong results. (It would be possible to define the decimal point to do this, but using it would be more complicated, and the expression -(๐ด.๐ต) is just as convenient.) (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

. = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐‘ฅ๐‘ฆ)
 
Theoremdpval 31528 Define the value of the decimal point operator. See df-dp 31527. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) = ๐ด๐ต)
 
Theoremdpcl 31529 Prove that the closure of the decimal point is โ„ as we have defined it. See df-dp 31527. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„)
 
Theoremdpfrac1 31530 Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 31527 and dpcl 31529. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) = (๐ด๐ต / 10))
 
Theoremdpval2 31531 Value of the decimal point construct. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด.๐ต) = (๐ด + (๐ต / 10))
 
Theoremdpval3 31532 Value of the decimal point construct. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด.๐ต) = ๐ด๐ต
 
Theoremdpmul10 31533 Multiply by 10 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด.๐ต) ยท 10) = ๐ด๐ต
 
Theoremdecdiv10 31534 Divide a decimal number by 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด๐ต / 10) = (๐ด.๐ต)
 
Theoremdpmul100 31535 Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 100) = ๐ด๐ต๐ถ
 
Theoremdp3mul10 31536 Multiply by 10 a decimal expansion with 3 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด.๐ต๐ถ) ยท 10) = (๐ด๐ต.๐ถ)
 
Theoremdpmul1000 31537 Multiply by 1000 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    &   ๐ท โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท 1000) = ๐ด๐ต๐ถ๐ท
 
Theoremdpval3rp 31538 Value of the decimal point construct. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    โ‡’   (๐ด.๐ต) = ๐ด๐ต
 
Theoremdp0u 31539 Add a zero in the tenths place. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    โ‡’   (๐ด.0) = ๐ด
 
Theoremdp0h 31540 Remove a zero in the units places. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„+    โ‡’   (0.๐ด) = (๐ด / 10)
 
Theoremrpdpcl 31541 Closure of the decimal point in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    โ‡’   (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„+
 
Theoremdplt 31542 Comparing two decimal expansions (equal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    &   ๐ถ โˆˆ โ„+    &   ๐ต < ๐ถ    โ‡’   (๐ด.๐ต) < (๐ด.๐ถ)
 
Theoremdplti 31543 Comparing a decimal expansions with the next higher integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    &   ๐ต < 10    &   (๐ด + 1) = ๐ถ    โ‡’   (๐ด.๐ต) < ๐ถ
 
Theoremdpgti 31544 Comparing a decimal expansions with the next lower integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    โ‡’   ๐ด < (๐ด.๐ต)
 
Theoremdpltc 31545 Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    &   ๐ท โˆˆ โ„+    &   ๐ด < ๐ถ    &   ๐ต < 10    โ‡’   (๐ด.๐ต) < (๐ถ.๐ท)
 
Theoremdpexpp1 31546 Add one zero to the mantisse, and a one to the exponent in a scientific notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    &   (๐‘ƒ + 1) = ๐‘„    &   ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค    &   ๐‘„ โˆˆ โ„ค    โ‡’   ((๐ด.๐ต) ยท (10โ†‘๐‘ƒ)) = ((0.๐ด๐ต) ยท (10โ†‘๐‘„))
 
Theorem0dp2dp 31547 Multiply by 10 a decimal expansion which starts with a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    โ‡’   ((0.๐ด๐ต) ยท 10) = (๐ด.๐ต)
 
Theoremdpadd2 31548 Addition with one decimal, no carry. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„+    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    &   ๐ท โˆˆ โ„+    &   ๐ธ โˆˆ โ„•0    &   ๐น โˆˆ โ„+    &   ๐บ โˆˆ โ„•0    &   ๐ป โˆˆ โ„•0    &   (๐บ + ๐ป) = ๐ผ    &   ((๐ด.๐ต) + (๐ถ.๐ท)) = (๐ธ.๐น)    โ‡’   ((๐บ.๐ด๐ต) + (๐ป.๐ถ๐ท)) = (๐ผ.๐ธ๐น)
 
Theoremdpadd 31549 Addition with one decimal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    &   ๐ท โˆˆ โ„•0    &   ๐ธ โˆˆ โ„•0    &   ๐น โˆˆ โ„•0    &   (๐ด๐ต + ๐ถ๐ท) = ๐ธ๐น    โ‡’   ((๐ด.๐ต) + (๐ถ.๐ท)) = (๐ธ.๐น)
 
Theoremdpadd3 31550 Addition with two decimals. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    &   ๐ท โˆˆ โ„•0    &   ๐ธ โˆˆ โ„•0    &   ๐บ โˆˆ โ„•0    &   ๐น โˆˆ โ„•0    &   ๐ป โˆˆ โ„•0    &   ๐ผ โˆˆ โ„•0    &   (๐ด๐ต๐ถ + ๐ท๐ธ๐น) = ๐บ๐ป๐ผ    โ‡’   ((๐ด.๐ต๐ถ) + (๐ท.๐ธ๐น)) = (๐บ.๐ป๐ผ)
 
Theoremdpmul 31551 Multiplication with one decimal point. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    &   ๐ท โˆˆ โ„•0    &   ๐ธ โˆˆ โ„•0    &   ๐บ โˆˆ โ„•0    &   ๐ฝ โˆˆ โ„•0    &   ๐พ โˆˆ โ„•0    &   (๐ด ยท ๐ถ) = ๐น    &   (๐ด ยท ๐ท) = ๐‘€    &   (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ฟ    &   (๐ต ยท ๐ท) = ๐ธ๐พ    &   ((๐ฟ + ๐‘€) + ๐ธ) = ๐บ๐ฝ    &   (๐น + ๐บ) = ๐ผ    โ‡’   ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) = (๐ผ.๐ฝ๐พ)
 
Theoremdpmul4 31552 An upper bound to multiplication of decimal numbers with 4 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
๐ด โˆˆ โ„•0    &   ๐ต โˆˆ โ„•0    &   ๐ถ โˆˆ โ„•0    &   ๐ท โˆˆ โ„•0    &   ๐ธ โˆˆ โ„•0    &   ๐บ โˆˆ โ„•0    &   ๐ฝ โˆˆ โ„•0    &   ๐พ โˆˆ โ„•0    &   ๐น โˆˆ โ„•0    &   ๐ป โˆˆ โ„•0    &   ๐ผ โˆˆ โ„•0    &   ๐ฟ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘€ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘‚ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘„ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘… โˆˆ โ„•0    &   ๐‘† โˆˆ โ„•0    &   ๐‘‡ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘ˆ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘Š โˆˆ โ„•0    &   ๐‘‹ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘Œ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘ โˆˆ โ„•0    &   ๐‘ˆ < 10    &   ๐‘ƒ < 10    &   ๐‘„ < 10    &   (๐ฟ๐‘€๐‘ + ๐‘‚) = ๐‘…๐‘†๐‘‡๐‘ˆ    &   ((๐ด.๐ต) ยท (๐ธ.๐น)) = (๐ผ.๐ฝ๐พ)    &   ((๐ถ.๐ท) ยท (๐บ.๐ป)) = (๐‘‚.๐‘ƒ๐‘„)    &   (๐ผ๐ฝ๐พ1 + ๐‘…๐‘†๐‘‡) = ๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘    &   (((๐ด.๐ต) + (๐ถ.๐ท)) ยท ((๐ธ.๐น) + (๐บ.๐ป))) = (((๐ผ.๐ฝ๐พ) + (๐ฟ.๐‘€๐‘)) + (๐‘‚.๐‘ƒ๐‘„))    โ‡’   ((๐ด.๐ต๐ถ๐ท) ยท (๐ธ.๐น๐บ๐ป)) < (๐‘Š.๐‘‹๐‘Œ๐‘)
 
Theoremthreehalves 31553 Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
(3 / 2) = (1.5)
 
Theorem1mhdrd 31554 Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
((0.99) + (0.01)) = 1
 
21.3.6.2  Division in the extended real number system
 
Syntaxcxdiv 31555 Extend class notation to include division of extended reals.
class /๐‘’
 
Definitiondf-xdiv 31556* Define division over extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)
/๐‘’ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„*, ๐‘ฆ โˆˆ (โ„ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„* (๐‘ฆ ยทe ๐‘ง) = ๐‘ฅ))
 
Theoremxdivval 31557* Value of division: the (unique) element ๐‘ฅ such that (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด. This is meaningful only when ๐ต is nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
 
Theoremxrecex 31558* Existence of reciprocal of nonzero real number. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = 1)
 
Theoremxmulcand 31559 Cancellation law for extended multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremxreceu 31560* Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
 
Theoremxdivcld 31561 Closure law for the extended division. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„*)
 
Theoremxdivcl 31562 Closure law for the extended division. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„*)
 
Theoremxdivmul 31563 Relationship between division and multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Dec-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด /๐‘’ ๐ถ) = ๐ต โ†” (๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด))
 
Theoremrexdiv 31564 The extended real division operation when both arguments are real. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด / ๐ต))
 
Theoremxdivrec 31565 Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)))
 
Theoremxdivid 31566 A number divided by itself is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ด) = 1)
 
Theoremxdiv0 31567 Division into zero is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (0 /๐‘’ ๐ด) = 0)
 
Theoremxdiv0rp 31568 Division into zero is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
(๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (0 /๐‘’ ๐ด) = 0)
 
Theoremeliccioo 31569 Membership in a closed interval of extended reals versus the same open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†” (๐ถ = ๐ด โˆจ ๐ถ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โˆจ ๐ถ = ๐ต)))
 
Theoremelxrge02 31570 Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
(๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (๐ด = 0 โˆจ ๐ด โˆˆ โ„+ โˆจ ๐ด = +โˆž))
 
Theoremxdivpnfrp 31571 Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
(๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = +โˆž)
 
Theoremrpxdivcld 31572 Closure law for extended division of positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„+)
 
Theoremxrpxdivcld 31573 Closure law for extended division of positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (0[,]+โˆž))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) โˆˆ (0[,]+โˆž))
 
21.3.7  Words over a set - misc additions
 
Theoremwrdfd 31574 A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (โ™ฏโ€˜๐‘Š))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ Word ๐‘†)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š:(0..^๐‘)โŸถ๐‘†)
 
Theoremwrdres 31575 Condition for the restriction of a word to be a word itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Š โ†พ (0..^๐‘)) โˆˆ Word ๐‘†)
 
Theoremwrdsplex 31576* Existence of a split of a word at a given index. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘† โˆง ๐‘ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ Word ๐‘†๐‘Š = ((๐‘Š โ†พ (0..^๐‘)) ++ ๐‘ฃ))
 
Theorempfx1s2 31577 The prefix of length 1 of a length 2 word. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (โŸจโ€œ๐ด๐ตโ€โŸฉ prefix 1) = โŸจโ€œ๐ดโ€โŸฉ)
 
Theorempfxrn2 31578 The range of a prefix of a word is a subset of the range of that word. Stronger version of pfxrn 14505. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.)
((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘† โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ran (๐‘Š prefix ๐ฟ) โŠ† ran ๐‘Š)
 
Theorempfxrn3 31579 Express the range of a prefix of a word. Stronger version of pfxrn2 31578. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)
((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘† โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ran (๐‘Š prefix ๐ฟ) = (๐‘Š โ€œ (0..^๐ฟ)))
 
Theorempfxf1 31580 Condition for a prefix to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ Word ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š:dom ๐‘Šโ€“1-1โ†’๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š prefix ๐ฟ):dom (๐‘Š prefix ๐ฟ)โ€“1-1โ†’๐‘†)
 
Theorems1f1 31581 Conditions for a length 1 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โŸจโ€œ๐ผโ€โŸฉ:dom โŸจโ€œ๐ผโ€โŸฉโ€“1-1โ†’๐ท)
 
Theorems2rn 31582 Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ran โŸจโ€œ๐ผ๐ฝโ€โŸฉ = {๐ผ, ๐ฝ})
 
Theorems2f1 31583 Conditions for a length 2 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โŸจโ€œ๐ผ๐ฝโ€โŸฉ:dom โŸจโ€œ๐ผ๐ฝโ€โŸฉโ€“1-1โ†’๐ท)
 
Theorems3rn 31584 Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ran โŸจโ€œ๐ผ๐ฝ๐พโ€โŸฉ = {๐ผ, ๐ฝ, ๐พ})
 
Theorems3f1 31585 Conditions for a length 3 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โ‰  ๐พ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  ๐ผ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โŸจโ€œ๐ผ๐ฝ๐พโ€โŸฉ:dom โŸจโ€œ๐ผ๐ฝ๐พโ€โŸฉโ€“1-1โ†’๐ท)
 
Theorems3clhash 31586 Closure of the words of length 3 in a preimage using the hash function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2023.)
โŸจโ€œ๐ผ๐ฝ๐พโ€โŸฉ โˆˆ (โ—กโ™ฏ โ€œ {3})
 
Theoremccatf1 31587 Conditions for a concatenation to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Word ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Word ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด:dom ๐ดโ€“1-1โ†’๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต:dom ๐ตโ€“1-1โ†’๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ (ran ๐ด โˆฉ ran ๐ต) = โˆ…)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ++ ๐ต):dom (๐ด ++ ๐ต)โ€“1-1โ†’๐‘†)
 
Theorempfxlsw2ccat 31588 Reconstruct a word from its prefix and its last two symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)
๐‘ = (โ™ฏโ€˜๐‘Š)    โ‡’   ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง 2 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘Š = ((๐‘Š prefix (๐‘ โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘Šโ€˜(๐‘ โˆ’ 2))(๐‘Šโ€˜(๐‘ โˆ’ 1))โ€โŸฉ))
 
Theoremwrdt2ind 31589* Perform an induction over the structure of a word of even length. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)
(๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))    &   (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ’))    &   (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œƒ))    &   (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ))    &   ๐œ“    &   ((๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐œ’ โ†’ ๐œƒ))    โ‡’   ((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐œ)
 
Theoremswrdrn2 31590 The range of a subword is a subset of the range of that word. Stronger version of swrdrn 14472. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.)
((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ran (๐‘Š substr โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) โŠ† ran ๐‘Š)
 
Theoremswrdrn3 31591 Express the range of a subword. Stronger version of swrdrn2 31590. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)
((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ran (๐‘Š substr โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = (๐‘Š โ€œ (๐‘€..^๐‘)))
 
Theoremswrdf1 31592 Condition for a subword to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ Word ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (0...๐‘))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š:dom ๐‘Šโ€“1-1โ†’๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š substr โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ):dom (๐‘Š substr โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)โ€“1-1โ†’๐ท)
 
Theoremswrdrndisj 31593 Condition for the range of two subwords of an injective word to be disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ Word ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (0...๐‘))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š:dom ๐‘Šโ€“1-1โ†’๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‚ โˆˆ (๐‘...๐‘ƒ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (๐‘...(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ran (๐‘Š substr โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) โˆฉ ran (๐‘Š substr โŸจ๐‘‚, ๐‘ƒโŸฉ)) = โˆ…)
 
21.3.7.1  Splicing words (substring replacement)
 
Theoremsplfv3 31594 Symbols to the right of a splice are unaffected. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Word ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (0...๐‘‡))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘†)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Word ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐‘†) โˆ’ ๐‘‡)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ = (๐น + (โ™ฏโ€˜๐‘…)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† splice โŸจ๐น, ๐‘‡, ๐‘…โŸฉ)โ€˜(๐‘‹ + ๐พ)) = (๐‘†โ€˜(๐‘‹ + ๐‘‡)))
 
21.3.7.2  Cyclic shift of words
 
Theorem1cshid 31595 Cyclically shifting a single letter word keeps it unchanged. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.)
((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โ†’ (๐‘Š cyclShift ๐‘) = ๐‘Š)
 
Theoremcshw1s2 31596 Cyclically shifting a length 2 word swaps its symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (โŸจโ€œ๐ด๐ตโ€โŸฉ cyclShift 1) = โŸจโ€œ๐ต๐ดโ€โŸฉ)
 
Theoremcshwrnid 31597 Cyclically shifting a word preserves its range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)
((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ran (๐‘Š cyclShift ๐‘) = ran ๐‘Š)
 
Theoremcshf1o 31598 Condition for the cyclic shift to be a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2023.)
((๐‘Š โˆˆ Word ๐ท โˆง ๐‘Š:dom ๐‘Šโ€“1-1โ†’๐ท โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Š cyclShift ๐‘):dom ๐‘Šโ€“1-1-ontoโ†’ran ๐‘Š)
 
21.3.8  Extensible Structures
 
21.3.8.1  Structure restriction operator
 
Theoremressplusf 31599 The group operation function +๐‘“ of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)
๐ต = (Baseโ€˜๐บ)    &   ๐ป = (๐บ โ†พs ๐ด)    &    โจฃ = (+gโ€˜๐บ)    &    โจฃ Fn (๐ต ร— ๐ต)    &   ๐ด โŠ† ๐ต    โ‡’   (+๐‘“โ€˜๐ป) = ( โจฃ โ†พ (๐ด ร— ๐ด))
 
Theoremressnm 31600 The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)
๐ป = (๐บ โ†พs ๐ด)    &   ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)    &    0 = (0gโ€˜๐บ)    &   ๐‘ = (normโ€˜๐บ)    โ‡’   ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง 0 โˆˆ ๐ด โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ (๐‘ โ†พ ๐ด) = (normโ€˜๐ป))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-46966
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >