Theorem hhlnoi 32281

Description: The linear operators of Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhlno.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhlno.2	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhlnoi	⊢ LinOp = 𝐿

Proof of Theorem hhlnoi

Dummy variables 𝑥 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lnop 32222	. 2 ⊢ LinOp = {𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑡‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑡‘𝑦)) +ℎ (𝑡‘𝑧))}
2		hhlno.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31546	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4	2	hhba 31548	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5	2	hhva 31547	. . . 4 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	2	hhsm 31550	. . . 4 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		hhlno.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑈)
8	4, 4, 5, 5, 6, 6, 7	lnoval 31133	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → 𝐿 = {𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑡‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑡‘𝑦)) +ℎ (𝑡‘𝑧))})
9	3, 3, 8	mp2an 705	. 2 ⊢ 𝐿 = {𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝑡‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 ·ℎ (𝑡‘𝑦)) +ℎ (𝑡‘𝑧))}
10	1, 9	eqtr4i 2791	1 ⊢ LinOp = 𝐿

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  ℂcc 11109  NrmCVeccnv 30965   LnOp clno 31121   ℋchba 31300   +_ℎ cva 31301   ·_ℎ csm 31302  norm_ℎcno 31304  LinOpclo 31328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-hilex 31380  ax-hfvadd 31381  ax-hvcom 31382  ax-hvass 31383  ax-hv0cl 31384  ax-hvaddid 31385  ax-hfvmul 31386  ax-hvmulid 31387  ax-hvmulass 31388  ax-hvdistr1 31389  ax-hvdistr2 31390  ax-hvmul0 31391  ax-hfi 31460  ax-his1 31463  ax-his2 31464  ax-his3 31465  ax-his4 31466

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-grpo 30874  df-gid 30875  df-ablo 30926  df-vc 30940  df-nv 30973  df-va 30976  df-ba 30977  df-sm 30978  df-lno 31125  df-hnorm 31349  df-hvsub 31352  df-lnop 32222

This theorem is used by:  hhbloi  32283  hmopbdoptHIL  32369  nmlnop0iHIL  32377