MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srglmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srglmhm 19281
Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm 19350. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srglmhm ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srglmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 19255 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
21, 1jca 515 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
32adantr 484 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 srglmhm.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
64, 5srgcl 19258 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
763expa 1115 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
87fmpttd 6867 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵)
9 3anass 1092 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
10 eqid 2824 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
114, 10, 5srgdi 19262 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
129, 11sylan2br 597 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵))) → (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
1312anassrs 471 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
144, 10srgacl 19270 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
15143expb 1117 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1615adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
18 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
19 ovex 7178 . . . . . . 7 (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6756 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
2116, 20syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
22 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑎))
23 ovex 7178 . . . . . . . 8 (𝑋 · 𝑎) ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 6756 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
25 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑏))
26 ovex 7178 . . . . . . . 8 (𝑋 · 𝑏) ∈ V
2725, 18, 26fvmpt 6756 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
2824, 27oveqan12d 7164 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
2928adantl 485 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
3013, 21, 293eqtr4d 2869 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
3130ralrimivva 3186 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
32 eqid 2824 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
334, 32srg0cl 19265 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3433adantr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
35 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (0g𝑅)))
36 ovex 7178 . . . . . 6 (𝑋 · (0g𝑅)) ∈ V
3735, 18, 36fvmpt 6756 . . . . 5 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (𝑋 · (0g𝑅)))
3834, 37syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (𝑋 · (0g𝑅)))
394, 5, 32srgrz 19272 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
4038, 39eqtrd 2859 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
418, 31, 403jca 1125 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
424, 4, 10, 10, 32, 32ismhm 17954 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))))
433, 41, 42sylanbrc 586 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  cmpt 5132  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7145  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  .rcmulr 16562  0gc0g 16709  Mndcmnd 17907   MndHom cmhm 17950  SRingcsrg 19251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-cmn 18904  df-mgp 19236  df-srg 19252
This theorem is referenced by:  sgsummulcl  19284
  Copyright terms: Public domain W3C validator