MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srglmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srglmhm 20044
Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm 20124. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srglmhm.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srglmhm ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐‘ฅ, ยท

Proof of Theorem srglmhm
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 20013 . . . 4 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
21, 1jca 513 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd))
32adantr 482 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 srglmhm.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
64, 5srgcl 20016 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
763expa 1119 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
87fmpttd 7115 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต)
9 3anass 1096 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)))
10 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
114, 10, 5srgdi 20020 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘)))
129, 11sylan2br 596 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต))) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘)))
1312anassrs 469 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘)))
144, 10srgacl 20028 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
15143expb 1121 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
1615adantlr 714 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
17 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)))
18 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))
19 ovex 7442 . . . . . . 7 (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) โˆˆ V
2017, 18, 19fvmpt 6999 . . . . . 6 ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)))
2116, 20syl 17 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)))
22 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท ๐‘Ž))
23 ovex 7442 . . . . . . . 8 (๐‘‹ ยท ๐‘Ž) โˆˆ V
2422, 18, 23fvmpt 6999 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž) = (๐‘‹ ยท ๐‘Ž))
25 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท ๐‘))
26 ovex 7442 . . . . . . . 8 (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ V
2725, 18, 26fvmpt 6999 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘) = (๐‘‹ ยท ๐‘))
2824, 27oveqan12d 7428 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘)))
2928adantl 483 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘)))
3013, 21, 293eqtr4d 2783 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)))
3130ralrimivva 3201 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)))
32 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
334, 32srg0cl 20023 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
3433adantr 482 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
35 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)))
36 ovex 7442 . . . . . 6 (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V
3735, 18, 36fvmpt 6999 . . . . 5 ((0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)))
3834, 37syl 17 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)))
394, 5, 32srgrz 20030 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4038, 39eqtrd 2773 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
418, 31, 403jca 1129 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…)))
424, 4, 10, 10, 32, 32ismhm 18673 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…) โ†” ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))))
433, 41, 42sylanbrc 584 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062   โ†ฆ cmpt 5232  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625   MndHom cmhm 18669  SRingcsrg 20009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-srg 20010
This theorem is referenced by:  sgsummulcl  20047
  Copyright terms: Public domain W3C validator