MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srglmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srglmhm 19952
Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm 20028. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srglmhm ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srglmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 19921 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
21, 1jca 512 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
32adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 srglmhm.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
64, 5srgcl 19924 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
763expa 1118 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
87fmpttd 7063 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵)
9 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
10 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
114, 10, 5srgdi 19928 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
129, 11sylan2br 595 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵))) → (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
1312anassrs 468 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
144, 10srgacl 19936 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
15143expb 1120 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1615adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
18 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
19 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6948 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
2116, 20syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
22 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑎))
23 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝑋 · 𝑎) ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
25 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑏))
26 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝑋 · 𝑏) ∈ V
2725, 18, 26fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
2824, 27oveqan12d 7376 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
2928adantl 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
3013, 21, 293eqtr4d 2786 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
3130ralrimivva 3197 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
32 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
334, 32srg0cl 19931 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
35 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (0g𝑅)))
36 ovex 7390 . . . . . 6 (𝑋 · (0g𝑅)) ∈ V
3735, 18, 36fvmpt 6948 . . . . 5 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (𝑋 · (0g𝑅)))
3834, 37syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (𝑋 · (0g𝑅)))
394, 5, 32srgrz 19938 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
4038, 39eqtrd 2776 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
418, 31, 403jca 1128 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
424, 4, 10, 10, 32, 32ismhm 18603 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))))
433, 41, 42sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SRingcsrg 19917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-srg 19918
This theorem is referenced by:  sgsummulcl  19955
  Copyright terms: Public domain W3C validator