Theorem srglmhm 20448

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm 20544. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srglmhm	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srglmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 20417	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2	1, 1	jca 521	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4		srglmhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srglmhm.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	srgcl 20420	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 7115	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
9		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
10		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11	4, 10, 5	srgdi 20424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
12	9, 11	sylan2br 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
13	12	anassrs 473	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
14	4, 10	srgacl 20432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
16	15	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
19		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
21	16, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
22		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑎))
23		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 · 𝑎) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
25		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑏))
26		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 · 𝑏) ∈ V
27	25, 18, 26	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
28	24, 27	oveqan12d 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
29	28	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
30	13, 21, 29	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
31	30	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
32		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
33	4, 32	srg0cl 20427	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
34	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
35		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
36		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · (0g‘𝑅)) ∈ V
37	35, 18, 36	fvmpt 6993	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
38	34, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
39	4, 5, 32	srgrz 20434	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	38, 39	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
41	8, 31, 40	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
42	4, 4, 10, 10, 32, 32	ismhm 18981	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
43	3, 41, 42	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  ._rcmulr 17430  0_gc0g 17611  Mndcmnd 18924   MndHom cmhm 18977  SRingcsrg 20413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-cmn 19997  df-mgp 20362  df-srg 20414

This theorem is used by:  sgsummulcl  20451