MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srglmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srglmhm 19214
Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm 19283. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srglmhm ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srglmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 19188 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
21, 1jca 512 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
32adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 srglmhm.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
64, 5srgcl 19191 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
763expa 1110 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
87fmpttd 6871 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵)
9 3anass 1087 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
10 eqid 2818 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
114, 10, 5srgdi 19195 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
129, 11sylan2br 594 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵))) → (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
1312anassrs 468 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
144, 10srgacl 19203 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
15143expb 1112 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
1615adantlr 711 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑎(+g𝑅)𝑏) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
18 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
19 ovex 7178 . . . . . . 7 (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6761 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
2116, 20syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g𝑅)𝑏)))
22 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑎))
23 ovex 7178 . . . . . . . 8 (𝑋 · 𝑎) ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 6761 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
25 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑏))
26 ovex 7178 . . . . . . . 8 (𝑋 · 𝑏) ∈ V
2725, 18, 26fvmpt 6761 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
2824, 27oveqan12d 7164 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
2928adantl 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
3013, 21, 293eqtr4d 2863 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
3130ralrimivva 3188 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
32 eqid 2818 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
334, 32srg0cl 19198 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
35 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (0g𝑅)))
36 ovex 7178 . . . . . 6 (𝑋 · (0g𝑅)) ∈ V
3735, 18, 36fvmpt 6761 . . . . 5 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (𝑋 · (0g𝑅)))
3834, 37syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (𝑋 · (0g𝑅)))
394, 5, 32srgrz 19205 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
4038, 39eqtrd 2853 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
418, 31, 403jca 1120 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
424, 4, 10, 10, 32, 32ismhm 17946 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g𝑅)𝑏)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g𝑅)((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))))
433, 41, 42sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899   MndHom cmhm 17942  SRingcsrg 19184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-srg 19185
This theorem is referenced by:  sgsummulcl  19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator