MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srglmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srglmhm 20115
Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm 20200. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srglmhm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srglmhm.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srglmhm ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐‘ฅ, ยท

Proof of Theorem srglmhm
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgmnd 20084 . . . 4 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
21, 1jca 512 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd))
32adantr 481 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd))
4 srglmhm.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 srglmhm.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
64, 5srgcl 20087 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
763expa 1118 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
87fmpttd 7116 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต)
9 3anass 1095 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)))
10 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
114, 10, 5srgdi 20091 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘)))
129, 11sylan2br 595 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต))) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘)))
1312anassrs 468 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘)))
144, 10srgacl 20099 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
15143expb 1120 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
1615adantlr 713 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต)
17 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)))
18 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))
19 ovex 7444 . . . . . . 7 (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) โˆˆ V
2017, 18, 19fvmpt 6998 . . . . . 6 ((๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)))
2116, 20syl 17 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (๐‘‹ ยท (๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)))
22 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท ๐‘Ž))
23 ovex 7444 . . . . . . . 8 (๐‘‹ ยท ๐‘Ž) โˆˆ V
2422, 18, 23fvmpt 6998 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž) = (๐‘‹ ยท ๐‘Ž))
25 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท ๐‘))
26 ovex 7444 . . . . . . . 8 (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ V
2725, 18, 26fvmpt 6998 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘) = (๐‘‹ ยท ๐‘))
2824, 27oveqan12d 7430 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘)))
2928adantl 482 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘)))
3013, 21, 293eqtr4d 2782 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)))
3130ralrimivva 3200 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)))
32 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
334, 32srg0cl 20094 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
3433adantr 481 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
35 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (0gโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)))
36 ovex 7444 . . . . . 6 (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V
3735, 18, 36fvmpt 6998 . . . . 5 ((0gโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)))
3834, 37syl 17 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)))
394, 5, 32srgrz 20101 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4038, 39eqtrd 2772 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
418, 31, 403jca 1128 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…)))
424, 4, 10, 10, 32, 32ismhm 18707 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…) โ†” ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐‘…)๐‘)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))))
433, 41, 42sylanbrc 583 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘‹ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐‘… MndHom ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   โ†ฆ cmpt 5231  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  SRingcsrg 20080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-cmn 19691  df-mgp 20029  df-srg 20081
This theorem is referenced by:  sgsummulcl  20118
  Copyright terms: Public domain W3C validator