Theorem srglmhm 20302

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm 20394. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srglmhm	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srglmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 20271	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2	1, 1	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4		srglmhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srglmhm.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	srgcl 20274	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
9		3anass 1109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
10		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11	4, 10, 5	srgdi 20278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
12	9, 11	sylan2br 606	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
13	12	anassrs 472	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
14	4, 10	srgacl 20286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
16	15	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
19		ovex 7443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
21	16, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
22		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑎))
23		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 · 𝑎) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
25		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑏))
26		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 · 𝑏) ∈ V
27	25, 18, 26	fvmpt 6989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
28	24, 27	oveqan12d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
29	28	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
30	13, 21, 29	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
31	30	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
32		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
33	4, 32	srg0cl 20281	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
34	33	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
35		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
36		ovex 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · (0g‘𝑅)) ∈ V
37	35, 18, 36	fvmpt 6989	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
38	34, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
39	4, 5, 32	srgrz 20288	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	38, 39	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
41	8, 31, 40	3jca 1144	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
42	4, 4, 10, 10, 32, 32	ismhm 18842	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
43	3, 41, 42	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  Mndcmnd 18791   MndHom cmhm 18838  SRingcsrg 20267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-cmn 19851  df-mgp 20216  df-srg 20268

This theorem is referenced by:  sgsummulcl  20305