Theorem findcard3OLD 9282

Description: Obsolete version of findcard3 9281 as of 7-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard3OLD.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
findcard3OLD.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
findcard3OLD.3	⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑) → 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
findcard3OLD	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴   𝜏,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem findcard3OLD

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8968	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤)
2		nnon 7857	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ On)
3		eleq1w 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∈ ω ↔ 𝑧 ∈ ω))
4		breq2 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝑥 ≈ 𝑧))
5	4	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
6	5	albidv 1923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
7	3, 6	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))))
8		rspe 3246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω 𝑦 ≈ 𝑤)
9		isfi 8968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝑦 ≈ 𝑤)
10	8, 9	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
11		19.21v 1942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
12	11	ralbii 3093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 ∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
13		ralcom4 3283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 ∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
14	12, 13	bitr3i 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
15		pssss 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝑥 ⊆ 𝑦)
16		ssfi 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
17		isfi 8968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
18	16, 17	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
19	10, 15, 18	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
20		ensym 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝑧 ≈ 𝑥)
21	20	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ≈ 𝑥)
22		php3 9208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
23	10, 22	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
24		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑦 ≈ 𝑤)
25		sdomentr 9107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → 𝑥 ≺ 𝑤)
26	23, 24, 25	syl2an2r 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑥 ≺ 𝑤)
27		ensdomtr 9109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝑤) → 𝑧 ≺ 𝑤)
28	21, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ≺ 𝑤)
29		nnon 7857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
30	29	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
31	2	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑤 ∈ On)
32		sdomel 9120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ On) → (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤))
34	28, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
35	34	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤))
36		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑥 ≈ 𝑧)
37	35, 36	jca2 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
38	37	reximdv2 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧))
39	19, 38	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧)
40		r19.29 3114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧))
41	40	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧 → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
43		ordom 7861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ord ω
44		ordelss 6377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → 𝑤 ⊆ ω)
45	43, 44	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ⊆ ω)
46	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑤 ⊆ ω)
47	46	sseld 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑧 ∈ ω))
48		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
49	48	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑))
50	47, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑤 → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑)))
51	50	rexlimdv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑))
52	42, 51	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑))
53	52	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑)))
54	53	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
55	54	alimdv 1919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
56	14, 55	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
57		findcard3OLD.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑) → 𝜒))
58	10, 56, 57	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜒))
59	58	impancom 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))) → (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
60	59	alrimiv 1930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))) → ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
61	60	expcom 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒)))
62		breq1 5150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝑦 ≈ 𝑤))
63		findcard3OLD.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
64	62, 63	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒)))
65	64	cbvalvw 2039	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
66	61, 65	syl6ibr 251	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)))
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ On → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑))))
68	7, 67	tfis2 7842	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ On → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)))
69	2, 68	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑))
70	69	rgen 3063	. . . 4 ⊢ ∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)
71		r19.29 3114	. . . 4 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
72	70, 71	mpan 688	. . 3 ⊢ (∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
73	1, 72	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
74		breq1 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝐴 ≈ 𝑤))
75		findcard3OLD.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
76	74, 75	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝐴 ≈ 𝑤 → 𝜏)))
77	76	spcgv 3586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) → (𝐴 ≈ 𝑤 → 𝜏)))
78	77	impd 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤) → 𝜏))
79	78	rexlimdvw 3160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤) → 𝜏))
80	73, 79	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947   ⊊ wpss 3948   class class class wbr 5147  Ord word 6360  Oncon0 6361  ωcom 7851   ≈ cen 8932   ≺ csdm 8934  Fincfn 8935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939

This theorem is referenced by: (None)