Theorem findcard3OLD 9347

Description: Obsolete version of findcard3 9346 as of 7-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard3OLD.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
findcard3OLD.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
findcard3OLD.3	⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑) → 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
findcard3OLD	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴   𝜏,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem findcard3OLD

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 9036	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤)
2		nnon 7909	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ On)
3		eleq1w 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∈ ω ↔ 𝑧 ∈ ω))
4		breq2 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝑥 ≈ 𝑧))
5	4	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
6	5	albidv 1919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
7	3, 6	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))))
8		rspe 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω 𝑦 ≈ 𝑤)
9		isfi 9036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝑦 ≈ 𝑤)
10	8, 9	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
11		19.21v 1938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
12	11	ralbii 3099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 ∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
13		ralcom4 3292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 ∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
14	12, 13	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
15		pssss 4121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝑥 ⊆ 𝑦)
16		ssfi 9240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
17		isfi 9036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
18	16, 17	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
19	10, 15, 18	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
20		ensym 9063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝑧 ≈ 𝑥)
21	20	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ≈ 𝑥)
22		php3 9275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
23	10, 22	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
24		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑦 ≈ 𝑤)
25		sdomentr 9177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → 𝑥 ≺ 𝑤)
26	23, 24, 25	syl2an2r 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑥 ≺ 𝑤)
27		ensdomtr 9179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝑤) → 𝑧 ≺ 𝑤)
28	21, 26, 27	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ≺ 𝑤)
29		nnon 7909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
30	29	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
31	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑤 ∈ On)
32		sdomel 9190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ On) → (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤))
33	30, 31, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤))
34	28, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
35	34	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑥 ≈ 𝑧)
37	35, 36	jca2 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
38	37	reximdv2 3170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧))
39	19, 38	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧)
40		r19.29 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧))
41	40	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧 → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
43		ordom 7913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ord ω
44		ordelss 6411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → 𝑤 ⊆ ω)
45	43, 44	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ⊆ ω)
46	45	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑤 ⊆ ω)
47	46	sseld 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑧 ∈ ω))
48		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
49	48	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑))
50	47, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑤 → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑)))
51	50	rexlimdv 3159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑))
52	42, 51	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑))
53	52	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑)))
54	53	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
55	54	alimdv 1915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
56	14, 55	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
57		findcard3OLD.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑) → 𝜒))
58	10, 56, 57	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜒))
59	58	impancom 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))) → (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
60	59	alrimiv 1926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))) → ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
61	60	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒)))
62		breq1 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝑦 ≈ 𝑤))
63		findcard3OLD.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
64	62, 63	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒)))
65	64	cbvalvw 2035	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
66	61, 65	imbitrrdi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)))
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ On → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑))))
68	7, 67	tfis2 7894	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ On → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)))
69	2, 68	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑))
70	69	rgen 3069	. . . 4 ⊢ ∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)
71		r19.29 3120	. . . 4 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
72	70, 71	mpan 689	. . 3 ⊢ (∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
73	1, 72	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
74		breq1 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝐴 ≈ 𝑤))
75		findcard3OLD.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
76	74, 75	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝐴 ≈ 𝑤 → 𝜏)))
77	76	spcgv 3609	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) → (𝐴 ≈ 𝑤 → 𝜏)))
78	77	impd 410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤) → 𝜏))
79	78	rexlimdvw 3166	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤) → 𝜏))
80	73, 79	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977   class class class wbr 5166  Ord word 6394  Oncon0 6395  ωcom 7903   ≈ cen 9000   ≺ csdm 9002  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007

This theorem is referenced by: (None)