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Theorem findcard3OLD 9282
Description: Obsolete version of findcard3 9281 as of 7-Jan-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard3OLD.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
findcard3OLD.2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
findcard3OLD.3 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑦𝜑) → 𝜒))
Assertion
Ref Expression
findcard3OLD (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴   𝜏,𝑥   𝜒,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem findcard3OLD
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8968 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴𝑤)
2 nnon 7857 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ On)
3 eleq1w 2816 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∈ ω ↔ 𝑧 ∈ ω))
4 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥𝑤𝑥𝑧))
54imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑥𝑧𝜑)))
65albidv 1923 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)))
73, 6imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑))))
8 rspe 3246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω 𝑦𝑤)
9 isfi 8968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝑦𝑤)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
11 19.21v 1942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)))
1211ralbii 3093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑤𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ↔ ∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)))
13 ralcom4 3283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑤𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ↔ ∀𝑥𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)))
1412, 13bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) ↔ ∀𝑥𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)))
15 pssss 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
16 ssfi 9169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
17 isfi 8968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧)
1816, 17sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧)
1910, 15, 18syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧)
20 ensym 8995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝑧𝑧𝑥)
2120ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝑥)
22 php3 9208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
2310, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
24 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑦𝑤)
25 sdomentr 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝑦𝑦𝑤) → 𝑥𝑤)
2623, 24, 25syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑥𝑤)
27 ensdomtr 9109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝑥𝑥𝑤) → 𝑧𝑤)
2821, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝑤)
29 nnon 7857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
3029ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
312ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑤 ∈ On)
32 sdomel 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ On) → (𝑧𝑤𝑧𝑤))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → (𝑧𝑤𝑧𝑤))
3428, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝑤)
3534ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧) → 𝑧𝑤))
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝑧)
3735, 36jca2 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧) → (𝑧𝑤𝑥𝑧)))
3837reximdv2 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧 → ∃𝑧𝑤 𝑥𝑧))
3919, 38mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧𝑤 𝑥𝑧)
40 r19.29 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ ∃𝑧𝑤 𝑥𝑧) → ∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧))
4140expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑧𝑤 𝑥𝑧 → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → ∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧)))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → ∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧)))
43 ordom 7861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ord ω
44 ordelss 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Ord ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → 𝑤 ⊆ ω)
4543, 44mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ⊆ ω)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑤 ⊆ ω)
4746sseld 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑧𝑤𝑧 ∈ ω))
48 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ω → ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → (𝑥𝑧𝜑)))
4948impd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ω → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑))
5047, 49syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑧𝑤 → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑)))
5150rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑))
5242, 51syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → 𝜑))
5352ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (𝑥𝑦 → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → 𝜑)))
5453com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → (𝑥𝑦𝜑)))
5554alimdv 1919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑥𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → ∀𝑥(𝑥𝑦𝜑)))
5614, 55biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → ∀𝑥(𝑥𝑦𝜑)))
57 findcard3OLD.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑦𝜑) → 𝜒))
5810, 56, 57sylsyld 61 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → 𝜒))
5958impancom 452 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑))) → (𝑦𝑤𝜒))
6059alrimiv 1930 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑))) → ∀𝑦(𝑦𝑤𝜒))
6160expcom 414 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑦(𝑦𝑤𝜒)))
62 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑤𝑦𝑤))
63 findcard3OLD.1 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
6462, 63imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑦𝑤𝜒)))
6564cbvalvw 2039 . . . . . . . . 9 (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦𝑤𝜒))
6661, 65syl6ibr 251 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)))
6766a1i 11 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ On → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑))))
687, 67tfis2 7842 . . . . . 6 (𝑤 ∈ On → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)))
692, 68mpcom 38 . . . . 5 (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑))
7069rgen 3063 . . . 4 𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)
71 r19.29 3114 . . . 4 ((∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤))
7270, 71mpan 688 . . 3 (∃𝑤 ∈ ω 𝐴𝑤 → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤))
731, 72sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤))
74 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑤𝐴𝑤))
75 findcard3OLD.2 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
7674, 75imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝐴𝑤𝜏)))
7776spcgv 3586 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) → (𝐴𝑤𝜏)))
7877impd 411 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤) → 𝜏))
7978rexlimdvw 3160 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤) → 𝜏))
8073, 79mpd 15 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  wss 3947  wpss 3948   class class class wbr 5147  Ord word 6360  Oncon0 6361  ωcom 7851  cen 8932  csdm 8934  Fincfn 8935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939
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