MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfis3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tfis3 7841
Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 4-Nov-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
tfis3.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
tfis3.2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜒))
tfis3.3 (𝑥 ∈ On → (∀𝑦𝑥 𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
tfis3 (𝐴 ∈ On → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦   𝜒,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem tfis3
StepHypRef Expression
1 tfis3.2 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜒))
2 tfis3.1 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
3 tfis3.3 . . 3 (𝑥 ∈ On → (∀𝑦𝑥 𝜓𝜑))
42, 3tfis2 7840 . 2 (𝑥 ∈ On → 𝜑)
51, 4vtoclga 3558 1 (𝐴 ∈ On → 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  Oncon0 6355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-tr 5257  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-ord 6358  df-on 6359
This theorem is referenced by:  tfisi  7842  tfinds  7843  tfrlem1  8372  naddrid  8679  naddssim  8681  ordtypelem7  9516  rankonidlem  9820  tcrank  9876  infxpenlem  10005  alephle  10080  dfac12lem3  10137  ttukeylem5  10505  ttukeylem6  10506  tskord  10772  grudomon  10809  madebdayim  27754  madebday  27766  aomclem6  42351  nadd1suc  42691
  Copyright terms: Public domain W3C validator