Theorem tfis3 7842

Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 4-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfis3.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
tfis3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
tfis3.3	⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
tfis3	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦   𝜒,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem tfis3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis3.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2		tfis3.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		tfis3.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
4	2, 3	tfis2 7841	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)
5	1, 4	vtoclga 3544	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Oncon0 6349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6352  df-on 6353

This theorem is referenced by:  tfisi  7843  tfinds  7844  tfrlem1  8350  naddrid  8658  naddssim  8660  ordtypelem7  9474  rankonidlem  9788  tcrank  9844  infxpenlem  9985  alephle  10060  dfac12lem3  10117  ttukeylem5  10485  ttukeylem6  10486  tskord  10753  grudomon  10790  madebdayim  28035  madebday  28047  oldfib  28524  aomclem6  43643  nadd1suc  43976