Theorem tfis3 7903

Description: Transfinite Induction Schema, using implicit substitution. (Contributed by NM, 4-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfis3.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
tfis3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
tfis3.3	⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
tfis3	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝜑,𝑦   𝜒,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem tfis3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis3.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2		tfis3.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		tfis3.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
4	2, 3	tfis2 7902	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → 𝜑)
5	1, 4	vtoclga 3540	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Oncon0 6388

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-on 6392

This theorem is used by:  tfisi  7904  tfinds  7905  tfrlem1  8421  naddrid  8731  naddssim  8733  ordtypelem7  9555  rankonidlem  9875  tcrank  9938  infxpenlem  10131  alephle  10206  dfac12lem3  10263  ttukeylem5  10630  ttukeylem6  10631  tskord  10904  grudomon  10941  madebdayim  28331  madebday  28343  oldfib  28820  nmulrid  37161  aomclem6  44327  nadd1suc  44655