Theorem topfne 36320

Description: Fineness for covers corresponds precisely with fineness for topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
topfne.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
topfne.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
topfne	⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽Fne𝐾))

Proof of Theorem topfne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 23001	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (topGen‘𝐾) = 𝐾)
2	1	sseq2d 4041	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐾))
3	2	bicomd 223	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾)))
4		topfne.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5		topfne.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
6	4, 5	isfne4 36306	. . 3 ⊢ (𝐽Fne𝐾 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾)))
7	6	baibr 536	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽Fne𝐾))
8	3, 7	sylan9bb 509	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽Fne𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  topGenctg 17497  Topctop 22920  Fnecfne 36302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-topgen 17503  df-top 22921  df-fne 36303

This theorem is referenced by: (None)