Theorem topfne 34280

Description: Fineness for covers corresponds precisely with fineness for topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
topfne.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
topfne.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
topfne	⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽Fne𝐾))

Proof of Theorem topfne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 21870	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (topGen‘𝐾) = 𝐾)
2	1	sseq2d 3933	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐾))
3	2	bicomd 226	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾)))
4		topfne.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5		topfne.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
6	4, 5	isfne4 34266	. . 3 ⊢ (𝐽Fne𝐾 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾)))
7	6	baibr 540	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽Fne𝐾))
8	3, 7	sylan9bb 513	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽Fne𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  ∪ cuni 4819   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  topGenctg 16942  Topctop 21790  Fnecfne 34262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-topgen 16948  df-top 21791  df-fne 34263

This theorem is referenced by: (None)