Theorem topfne 36342

Description: Fineness for covers corresponds precisely with fineness for topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
topfne.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
topfne.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
topfne	⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽Fne𝐾))

Proof of Theorem topfne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 22860	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (topGen‘𝐾) = 𝐾)
2	1	sseq2d 3979	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐾))
3	2	bicomd 223	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾)))
4		topfne.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5		topfne.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
6	4, 5	isfne4 36328	. . 3 ⊢ (𝐽Fne𝐾 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾)))
7	6	baibr 536	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽Fne𝐾))
8	3, 7	sylan9bb 509	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽Fne𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  topGenctg 17400  Topctop 22780  Fnecfne 36324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-topgen 17406  df-top 22781  df-fne 36325

This theorem is referenced by: (None)