Theorem topfne 34757

Description: Fineness for covers corresponds precisely with fineness for topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
topfne.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
topfne.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
topfne	⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽Fne𝐾))

Proof of Theorem topfne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 22251	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (topGen‘𝐾) = 𝐾)
2	1	sseq2d 3975	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐾))
3	2	bicomd 222	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾)))
4		topfne.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5		topfne.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
6	4, 5	isfne4 34743	. . 3 ⊢ (𝐽Fne𝐾 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾)))
7	6	baibr 538	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽Fne𝐾))
8	3, 7	sylan9bb 511	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽Fne𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3909  ∪ cuni 4864   class class class wbr 5104  ‘cfv 6492  topGenctg 17255  Topctop 22170  Fnecfne 34739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fv 6500  df-topgen 17261  df-top 22171  df-fne 34740

This theorem is referenced by: (None)