Theorem topfne 33311

Description: Fineness for covers corresponds precisely with fineness for topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
topfne.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
topfne.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
topfne	⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽Fne𝐾))

Proof of Theorem topfne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 21265	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (topGen‘𝐾) = 𝐾)
2	1	sseq2d 3920	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐾))
3	2	bicomd 224	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾)))
4		topfne.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5		topfne.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
6	4, 5	isfne4 33297	. . 3 ⊢ (𝐽Fne𝐾 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾)))
7	6	baibr 537	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐾) ↔ 𝐽Fne𝐾))
8	3, 7	sylan9bb 510	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ 𝐽Fne𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3859  ∪ cuni 4745   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  topGenctg 16540  Topctop 21185  Fnecfne 33293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fv 6233  df-topgen 16546  df-top 21186  df-fne 33294

This theorem is referenced by: (None)