Theorem tposf1o2 8182

Description: Condition of a bijective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf1o2	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–1-1-onto→𝐵))

Proof of Theorem tposf1o2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposf12 8181	. . 3 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–1-1→𝐵))
2		tposfo2 8179	. . 3 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–onto→𝐵))
3	1, 2	anim12d 609	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (tpos 𝐹:◡𝐴–1-1→𝐵 ∧ tpos 𝐹:◡𝐴–onto→𝐵)))
4		df-f1o 6488	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
5		df-f1o 6488	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (tpos 𝐹:◡𝐴–1-1→𝐵 ∧ tpos 𝐹:◡𝐴–onto→𝐵))
6	3, 4, 5	3imtr4g 296	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–1-1-onto→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ^◡ccnv 5613  Rel wrel 5619  –1-1→wf1 6478  –onto→wfo 6479  –1-1-onto→wf1o 6480  tpos ctpos 8155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156

This theorem is referenced by:  tposf1o  48983