Theorem tposf1o2 8039

Description: Condition of a bijective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf1o2	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–1-1-onto→𝐵))

Proof of Theorem tposf1o2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposf12 8038	. . 3 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–1-1→𝐵))
2		tposfo2 8036	. . 3 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–onto→𝐵))
3	1, 2	anim12d 608	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (tpos 𝐹:◡𝐴–1-1→𝐵 ∧ tpos 𝐹:◡𝐴–onto→𝐵)))
4		df-f1o 6425	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
5		df-f1o 6425	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (tpos 𝐹:◡𝐴–1-1→𝐵 ∧ tpos 𝐹:◡𝐴–onto→𝐵))
6	3, 4, 5	3imtr4g 295	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴–1-1-onto→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ^◡ccnv 5579  Rel wrel 5585  –1-1→wf1 6415  –onto→wfo 6416  –1-1-onto→wf1o 6417  tpos ctpos 8012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013

This theorem is referenced by: (None)