Theorem tposfo 8226

Description: The domain and codomain/range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfo	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)

Proof of Theorem tposfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5661	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposfo2 8222	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶)
4		cnvxp 6137	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5		foeq2 6769	. . 3 ⊢ (◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)
7	3, 6	sylib 220	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   × cxp 5641  ^◡ccnv 5642  Rel wrel 5648  –onto→wfo 6513  tpos ctpos 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-fo 6521  df-fv 6523  df-tpos 8199

This theorem is referenced by: (None)