Theorem tposfo 8193

Description: The domain and codomain/range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfo	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)

Proof of Theorem tposfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5641	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposfo2 8189	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶)
4		cnvxp 6110	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5		foeq2 6737	. . 3 ⊢ (◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)
7	3, 6	sylib 218	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  Rel wrel 5628  –onto→wfo 6484  tpos ctpos 8165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-fo 6492  df-fv 6494  df-tpos 8166

This theorem is referenced by: (None)