MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tposfo 8277
Description: The domain and codomain/range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposfo (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶)

Proof of Theorem tposfo
StepHypRef Expression
1 relxp 5707 . . 3 Rel (𝐴 × 𝐵)
2 tposfo2 8273 . . 3 (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶)
4 cnvxp 6179 . . 3 (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5 foeq2 6818 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶))
64, 5ax-mp 5 . 2 (tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶)
73, 6sylib 218 1 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537   × cxp 5687  ccnv 5688  Rel wrel 5694  ontowfo 6561  tpos ctpos 8249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-fo 6569  df-fv 6571  df-tpos 8250
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator