Theorem tposfo 8252

Description: The domain and codomain/range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfo	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)

Proof of Theorem tposfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5672	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposfo2 8248	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶)
4		cnvxp 6146	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5		foeq2 6787	. . 3 ⊢ (◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)
7	3, 6	sylib 218	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653  Rel wrel 5659  –onto→wfo 6529  tpos ctpos 8224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-fo 6537  df-fv 6539  df-tpos 8225

This theorem is referenced by: (None)