MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tposf 7615
Description: The domain and range of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)

Proof of Theorem tposf
StepHypRef Expression
1 relxp 5328 . . 3 Rel (𝐴 × 𝐵)
2 tposf2 7611 . . 3 (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶)
4 cnvxp 5762 . . 3 (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
54feq2i 6248 . 2 (tpos 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)
63, 5sylib 209 1 (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   × cxp 5309  ccnv 5310  Rel wrel 5316  wf 6097  tpos ctpos 7586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fo 6107  df-fv 6109  df-tpos 7587
This theorem is referenced by:  tposfn  7616  mattposcl  20470  tposmap  20474
  Copyright terms: Public domain W3C validator