Theorem tposf 8234

Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)

Proof of Theorem tposf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5684	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposf2 8230	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶)
4		cnvxp 6146	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5	4	feq2i 6699	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)
6	3, 5	sylib 217	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665  Rel wrel 5671  ⟶wf 6529  tpos ctpos 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fo 6539  df-fv 6541  df-tpos 8206

This theorem is referenced by:  tposfn  8235  mattposcl  22277  tposmap  22281