Theorem tposf 8238

Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)

Proof of Theorem tposf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5694	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposf2 8234	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶)
4		cnvxp 6156	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5	4	feq2i 6709	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)
6	3, 5	sylib 217	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675  Rel wrel 5681  ⟶wf 6539  tpos ctpos 8209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-tpos 8210

This theorem is referenced by:  tposfn  8239  mattposcl  21954  tposmap  21958