Theorem tposres2 49367

Description: The transposition restricted to a set. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposres2.1	⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
tposres2	⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅))

Proof of Theorem tposres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposresg 49365	. . 3 ⊢ (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})))
2		tposres2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
3		resinsn 49359	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
4	2, 3	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})) = ∅)
5	4	uneq2d 4109	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅}))) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅))
6	1, 5	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅))
7		un0 4335	. 2 ⊢ ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅)
8	6, 7	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  tpos ctpos 8168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-fv 6500  df-tpos 8169

This theorem is referenced by:  tposres3  49368