Theorem tposres2 50100

Description: The transposition restricted to a set. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposres2.1	⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
tposres2	⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅))

Proof of Theorem tposres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposresg 50098	. . 3 ⊢ (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})))
2		tposres2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
3		resinsn 50092	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
4	2, 3	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})) = ∅)
5	4	uneq2d 4166	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅}))) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅))
6	1, 5	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅))
7		un0 4343	. 2 ⊢ ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅)
8	6, 7	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  {csn 4584  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  tpos ctpos 8247

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-fv 6549  df-tpos 8248

This theorem is used by:  tposres3  50101