Theorem tposres2 49806

Description: The transposition restricted to a set. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposres2.1	⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
tposres2	⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅))

Proof of Theorem tposres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposresg 49804	. . 3 ⊢ (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})))
2		tposres2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
3		resinsn 49798	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
4	2, 3	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})) = ∅)
5	4	uneq2d 4115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅}))) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅))
6	1, 5	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅))
7		un0 4344	. 2 ⊢ ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅)
8	6, 7	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  tpos ctpos 8223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-fv 6541  df-tpos 8224

This theorem is used by:  tposres3  49807