Theorem tposres2 48911

Description: The transposition restricted to a set. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposres2.1	⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
tposres2	⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅))

Proof of Theorem tposres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposresg 48909	. . 3 ⊢ (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})))
2		tposres2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
3		resinsn 48903	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
4	2, 3	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅})) = ∅)
5	4	uneq2d 4113	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ (𝐹 ↾ (𝑅 ∩ {∅}))) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅))
6	1, 5	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅))
7		un0 4339	. 2 ⊢ ((tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅) ∪ ∅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅)
8	6, 7	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = (tpos 𝐹 ↾ ◡◡𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896  ∅c0 4278  {csn 4571  ^◡ccnv 5610  dom cdm 5611   ↾ cres 5613  tpos ctpos 8150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-fv 6484  df-tpos 8151

This theorem is referenced by:  tposres3  48912