Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivval 31831
Description: Value of division: the (unique) element ๐‘ฅ such that (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด. This is meaningful only when ๐ต is nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xdivval ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem xdivval
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4751 . . 3 (๐ต โˆˆ (โ„ โˆ– {0}) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0))
2 simpl 484 . . . . . 6 ((๐‘ฆ = ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ ๐‘ฆ = ๐ด)
32eqeq2d 2744 . . . . 5 ((๐‘ฆ = ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘ง ยทe ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
43riotabidva 7337 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐‘ง ยทe ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐‘ง ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
5 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐‘ง = ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ ๐‘ง = ๐ต)
65oveq1d 7376 . . . . . 6 ((๐‘ง = ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘ง ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยทe ๐‘ฅ))
76eqeq1d 2735 . . . . 5 ((๐‘ง = ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘ง ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
87riotabidva 7337 . . . 4 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐‘ง ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
9 df-xdiv 31830 . . . 4 /๐‘’ = (๐‘ฆ โˆˆ โ„*, ๐‘ง โˆˆ (โ„ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐‘ง ยทe ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
10 riotaex 7321 . . . 4 (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด) โˆˆ V
114, 8, 9, 10ovmpo 7519 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ (โ„ โˆ– {0})) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
121, 11sylan2br 596 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
13123impb 1116 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โˆ– cdif 3911  {csn 4590  โ„ฉcrio 7316  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059  โ„*cxr 11196   ยทe cxmu 13040   /๐‘’ cxdiv 31829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-xdiv 31830
This theorem is referenced by:  xdivcld  31835  xdivmul  31837  rexdiv  31838  xdivpnfrp  31845
  Copyright terms: Public domain W3C validator