![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > xdivval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of division: the (unique) element ๐ฅ such that (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด. This is meaningful only when ๐ต is nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
xdivval | โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด /๐ ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ต ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eldifsn 4751 | . . 3 โข (๐ต โ (โ โ {0}) โ (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) | |
2 | simpl 484 | . . . . . 6 โข ((๐ฆ = ๐ด โง ๐ฅ โ โ*) โ ๐ฆ = ๐ด) | |
3 | 2 | eqeq2d 2744 | . . . . 5 โข ((๐ฆ = ๐ด โง ๐ฅ โ โ*) โ ((๐ง ยทe ๐ฅ) = ๐ฆ โ (๐ง ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) |
4 | 3 | riotabidva 7337 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ง ยทe ๐ฅ) = ๐ฆ) = (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ง ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) |
5 | simpl 484 | . . . . . . 7 โข ((๐ง = ๐ต โง ๐ฅ โ โ*) โ ๐ง = ๐ต) | |
6 | 5 | oveq1d 7376 | . . . . . 6 โข ((๐ง = ๐ต โง ๐ฅ โ โ*) โ (๐ง ยทe ๐ฅ) = (๐ต ยทe ๐ฅ)) |
7 | 6 | eqeq1d 2735 | . . . . 5 โข ((๐ง = ๐ต โง ๐ฅ โ โ*) โ ((๐ง ยทe ๐ฅ) = ๐ด โ (๐ต ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) |
8 | 7 | riotabidva 7337 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ต โ (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ง ยทe ๐ฅ) = ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ต ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) |
9 | df-xdiv 31830 | . . . 4 โข /๐ = (๐ฆ โ โ*, ๐ง โ (โ โ {0}) โฆ (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ง ยทe ๐ฅ) = ๐ฆ)) | |
10 | riotaex 7321 | . . . 4 โข (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ต ยทe ๐ฅ) = ๐ด) โ V | |
11 | 4, 8, 9, 10 | ovmpo 7519 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ (โ โ {0})) โ (๐ด /๐ ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ต ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) |
12 | 1, 11 | sylan2br 596 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (๐ด /๐ ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ต ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) |
13 | 12 | 3impb 1116 | 1 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด /๐ ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ต ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 โ cdif 3911 {csn 4590 โฉcrio 7316 (class class class)co 7361 โcr 11058 0cc0 11059 โ*cxr 11196 ยทe cxmu 13040 /๐ cxdiv 31829 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pr 5388 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-opab 5172 df-id 5535 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-xdiv 31830 |
This theorem is referenced by: xdivcld 31835 xdivmul 31837 rexdiv 31838 xdivpnfrp 31845 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |