Theorem rexdiv 32900

Description: The extended real division operation when both arguments are real. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem rexdiv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcl 11960	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		recn 11219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 11219	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 3, 4	3anim123i 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		divcan2 11904	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
8		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝐵) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)))
9	8	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝐵) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴))
10	9	rspcev 3601	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
11	1, 7, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
12		receu 11882	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
13	5, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
14		ax-resscn 11186	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
16	15	rgenw 3055	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
17		riotass2 7392	. . . 4 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
18	14, 16, 17	mpanl12 702	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
19	11, 13, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
20		rexr 11281	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		xdivval 32893	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
22	20, 21	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
23		ressxr 11279	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ℝ ⊆ ℝ*)
25		rexmul 13287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 · 𝑥))
26	25	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
27	26	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
28	27	ralrimiva 3132	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
29	28	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
30		xreceu 32896	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
31	20, 30	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
32		riotass2 7392	. . . 4 ⊢ (((ℝ ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
33	24, 29, 11, 31, 32	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
34	22, 33	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
35		divval 11898	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
36	5, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
37	19, 34, 36	3eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3357   ⊆ wss 3926  ℩crio 7361  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129   · cmul 11134  ℝ^*cxr 11268   / cdiv 11894   ·_e cxmu 13127   /_𝑒 cxdiv 32891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-xneg 13128  df-xmul 13130  df-xdiv 32892

This theorem is referenced by:  xdivid  32902  xdiv0  32903  rpxdivcld  32908  esumdivc  34114  probmeasb  34462  coinfliplem  34511