Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexdiv 32087
Description: The extended real division operation when both arguments are real. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexdiv ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด / ๐ต))

Proof of Theorem rexdiv
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 redivcl 11932 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
2 recn 11199 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 recn 11199 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 id 22 . . . . . 6 (๐ต โ‰  0 โ†’ ๐ต โ‰  0)
52, 3, 43anim123i 1151 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
6 divcan2 11879 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด)
75, 6syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด)
8 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด / ๐ต) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)))
98eqeq1d 2734 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐ด / ๐ต) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด))
109rspcev 3612 . . . 4 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
111, 7, 10syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
12 receu 11858 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
135, 12syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
14 ax-resscn 11166 . . . 4 โ„ โŠ† โ„‚
15 id 22 . . . . 5 ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
1615rgenw 3065 . . . 4 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
17 riotass2 7395 . . . 4 (((โ„ โŠ† โ„‚ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)) โˆง (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
1814, 16, 17mpanl12 700 . . 3 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
1911, 13, 18syl2anc 584 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
20 rexr 11259 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
21 xdivval 32080 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
2220, 21syl3an1 1163 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
23 ressxr 11257 . . . . 5 โ„ โŠ† โ„*
2423a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โ„ โŠ† โ„*)
25 rexmul 13249 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฅ))
2625eqeq1d 2734 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
2726biimprd 247 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
2827ralrimiva 3146 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
29283ad2ant2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
30 xreceu 32083 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
3120, 30syl3an1 1163 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
32 riotass2 7395 . . . 4 (((โ„ โŠ† โ„* โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)) โˆง (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
3324, 29, 11, 31, 32syl22anc 837 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
3422, 33eqtr4d 2775 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
35 divval 11873 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
365, 35syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
3719, 34, 363eqtr4d 2782 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด / ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3374   โŠ† wss 3948  โ„ฉcrio 7363  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114  โ„*cxr 11246   / cdiv 11870   ยทe cxmu 13090   /๐‘’ cxdiv 32078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-xneg 13091  df-xmul 13093  df-xdiv 32079
This theorem is referenced by:  xdivid  32089  xdiv0  32090  rpxdivcld  32095  esumdivc  33076  probmeasb  33424  coinfliplem  33472
  Copyright terms: Public domain W3C validator