Theorem rexdiv 32879

Description: The extended real division operation when both arguments are real. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem rexdiv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcl 11861	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		recn 11118	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 11118	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 3, 4	3anim123i 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		divcan2 11805	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
8		oveq2 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝐵) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)))
9	8	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝐵) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴))
10	9	rspcev 3579	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
11	1, 7, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
12		receu 11783	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
13	5, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
14		ax-resscn 11085	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
16	15	rgenw 3048	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
17		riotass2 7340	. . . 4 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
18	14, 16, 17	mpanl12 702	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
19	11, 13, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
20		rexr 11180	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		xdivval 32872	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
22	20, 21	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
23		ressxr 11178	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ℝ ⊆ ℝ*)
25		rexmul 13191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 · 𝑥))
26	25	eqeq1d 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
27	26	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
28	27	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
29	28	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
30		xreceu 32875	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
31	20, 30	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
32		riotass2 7340	. . . 4 ⊢ (((ℝ ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
33	24, 29, 11, 31, 32	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
34	22, 33	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
35		divval 11799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
36	5, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
37	19, 34, 36	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3343   ⊆ wss 3905  ℩crio 7309  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   · cmul 11033  ℝ^*cxr 11167   / cdiv 11795   ·_e cxmu 13031   /_𝑒 cxdiv 32870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-xneg 13032  df-xmul 13034  df-xdiv 32871

This theorem is referenced by:  xdivid  32881  xdiv0  32882  rpxdivcld  32887  esumdivc  34049  probmeasb  34397  coinfliplem  34446