Theorem rexdiv 32853

Description: The extended real division operation when both arguments are real. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem rexdiv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcl 11908	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		recn 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 3, 4	3anim123i 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		divcan2 11852	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
8		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝐵) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)))
9	8	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝐵) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴))
10	9	rspcev 3591	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
11	1, 7, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
12		receu 11830	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
13	5, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
14		ax-resscn 11132	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
16	15	rgenw 3049	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
17		riotass2 7377	. . . 4 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
18	14, 16, 17	mpanl12 702	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
19	11, 13, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
20		rexr 11227	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		xdivval 32846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
22	20, 21	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
23		ressxr 11225	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ℝ ⊆ ℝ*)
25		rexmul 13238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 · 𝑥))
26	25	eqeq1d 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
27	26	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
28	27	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
29	28	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
30		xreceu 32849	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
31	20, 30	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
32		riotass2 7377	. . . 4 ⊢ (((ℝ ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
33	24, 29, 11, 31, 32	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
34	22, 33	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
35		divval 11846	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
36	5, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
37	19, 34, 36	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  ∃!wreu 3354   ⊆ wss 3917  ℩crio 7346  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080  ℝ^*cxr 11214   / cdiv 11842   ·_e cxmu 13078   /_𝑒 cxdiv 32844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-xneg 13079  df-xmul 13081  df-xdiv 32845

This theorem is referenced by:  xdivid  32855  xdiv0  32856  rpxdivcld  32861  esumdivc  34080  probmeasb  34428  coinfliplem  34477