Theorem rexdiv 33000

Description: The extended real division operation when both arguments are real. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem rexdiv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcl 11865	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2		recn 11119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		recn 11119	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → 𝐵 ≠ 0)
5	2, 3, 4	3anim123i 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		divcan2 11808	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
8		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝐵) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)))
9	8	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝐵) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴))
10	9	rspcev 3565	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
11	1, 7, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
12		receu 11786	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
13	5, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
14		ax-resscn 11086	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
16	15	rgenw 3056	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
17		riotass2 7347	. . . 4 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
18	14, 16, 17	mpanl12 703	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
19	11, 13, 18	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
20		rexr 11182	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		xdivval 32993	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
22	20, 21	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
23		ressxr 11180	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ℝ ⊆ ℝ*)
25		rexmul 13214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 · 𝑥))
26	25	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
27	26	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
28	27	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
29	28	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
30		xreceu 32996	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
31	20, 30	syl3an1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
32		riotass2 7347	. . . 4 ⊢ (((ℝ ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 → (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)) ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
33	24, 29, 11, 31, 32	syl22anc 839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
34	22, 33	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
35		divval 11802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
36	5, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
37	19, 34, 36	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341   ⊆ wss 3890  ℩crio 7316  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   / cdiv 11798   ·_e cxmu 13053   /_𝑒 cxdiv 32991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-xneg 13054  df-xmul 13056  df-xdiv 32992

This theorem is referenced by:  xdivid  33002  xdiv0  33003  rpxdivcld  33008  esumdivc  34243  probmeasb  34590  coinfliplem  34639