Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexdiv 32643
Description: The extended real division operation when both arguments are real. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexdiv ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด / ๐ต))

Proof of Theorem rexdiv
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 redivcl 11957 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
2 recn 11222 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 recn 11222 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 id 22 . . . . . 6 (๐ต โ‰  0 โ†’ ๐ต โ‰  0)
52, 3, 43anim123i 1149 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
6 divcan2 11904 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด)
75, 6syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด)
8 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด / ๐ต) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)))
98eqeq1d 2729 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐ด / ๐ต) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด))
109rspcev 3607 . . . 4 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
111, 7, 10syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
12 receu 11883 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
135, 12syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
14 ax-resscn 11189 . . . 4 โ„ โІ โ„‚
15 id 22 . . . . 5 ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
1615rgenw 3060 . . . 4 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
17 riotass2 7401 . . . 4 (((โ„ โІ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)) โˆง (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
1814, 16, 17mpanl12 701 . . 3 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
1911, 13, 18syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
20 rexr 11284 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
21 xdivval 32636 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
2220, 21syl3an1 1161 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
23 ressxr 11282 . . . . 5 โ„ โІ โ„*
2423a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โ„ โІ โ„*)
25 rexmul 13276 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฅ))
2625eqeq1d 2729 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
2726biimprd 247 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
2827ralrimiva 3141 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
29283ad2ant2 1132 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
30 xreceu 32639 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
3120, 30syl3an1 1161 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
32 riotass2 7401 . . . 4 (((โ„ โІ โ„* โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†’ (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)) โˆง (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
3324, 29, 11, 31, 32syl22anc 838 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ต ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
3422, 33eqtr4d 2770 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
35 divval 11898 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
365, 35syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
3719, 34, 363eqtr4d 2777 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด / ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065  โˆƒ!wreu 3369   โІ wss 3944  โ„ฉcrio 7369  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  โ„cr 11131  0cc0 11132   ยท cmul 11137  โ„*cxr 11271   / cdiv 11895   ยทe cxmu 13117   /๐‘’ cxdiv 32634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-xneg 13118  df-xmul 13120  df-xdiv 32635
This theorem is referenced by:  xdivid  32645  xdiv0  32646  rpxdivcld  32651  esumdivc  33692  probmeasb  34040  coinfliplem  34088
  Copyright terms: Public domain W3C validator