Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivpnfrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivpnfrp 32592
Description: Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xdivpnfrp (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = +โˆž)

Proof of Theorem xdivpnfrp
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rprene0 12992 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0))
2 pnfxr 11267 . . . . 5 +โˆž โˆˆ โ„*
31, 2jctil 519 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž โˆˆ โ„* โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0)))
4 3anass 1092 . . . 4 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†” (+โˆž โˆˆ โ„* โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0)))
53, 4sylibr 233 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0))
6 xdivval 32578 . . 3 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
75, 6syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
82a1i 11 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
9 xlemul2 13271 . . . . . . 7 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
102, 9mp3an1 1444 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
1110ancoms 458 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
12 rpxr 12984 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
13 rpgt0 12987 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐ด)
14 xmulpnf1 13254 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1716breq1d 5149 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” +โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
1811, 17bitr2d 280 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” +โˆž โ‰ค ๐‘ฅ))
19 xmulcl 13253 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โˆˆ โ„*)
2012, 19sylan 579 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โˆˆ โ„*)
21 xgepnf 13145 . . . . 5 ((๐ด ยทe ๐‘ฅ) โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
2220, 21syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
23 xgepnf 13145 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ = +โˆž))
2423adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ = +โˆž))
2518, 22, 243bitr3d 309 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž โ†” ๐‘ฅ = +โˆž))
268, 25riota5 7388 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž) = +โˆž)
277, 26eqtrd 2764 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = +โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   class class class wbr 5139  โ„ฉcrio 7357  (class class class)co 7402  โ„cr 11106  0cc0 11107  +โˆžcpnf 11244  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โ‰ค cle 11248  โ„+crp 12975   ยทe cxmu 13092   /๐‘’ cxdiv 32576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xmul 13095  df-xdiv 32577
This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  32594
  Copyright terms: Public domain W3C validator