Theorem xdivpnfrp 31109

Description: Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xdivpnfrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xdivpnfrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprene0 12676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		pnfxr 10960	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	1, 2	jctil 519	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
4		3anass 1093	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
5	3, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
6		xdivval 31095	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (+∞ /𝑒 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
8	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → +∞ ∈ ℝ*)
9		xlemul2 12954	. . . . . . 7 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
10	2, 9	mp3an1 1446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
11	10	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
12		rpxr 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		rpgt0 12671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
14		xmulpnf1 12937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
15	12, 13, 14	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
17	16	breq1d 5080	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
18	11, 17	bitr2d 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ 𝑥))
19		xmulcl 12936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
20	12, 19	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
21		xgepnf 12828	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
23		xgepnf 12828	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 = +∞))
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 = +∞))
25	18, 22, 24	3bitr3d 308	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝑥) = +∞ ↔ 𝑥 = +∞))
26	8, 25	riota5 7242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞) = +∞)
27	7, 26	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℝ⁺crp 12659   ·_e cxmu 12776   /_𝑒 cxdiv 31093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xmul 12779  df-xdiv 31094

This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  31111