Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivpnfrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivpnfrp 31845
Description: Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xdivpnfrp (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = +โˆž)

Proof of Theorem xdivpnfrp
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rprene0 12940 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0))
2 pnfxr 11217 . . . . 5 +โˆž โˆˆ โ„*
31, 2jctil 521 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž โˆˆ โ„* โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0)))
4 3anass 1096 . . . 4 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†” (+โˆž โˆˆ โ„* โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0)))
53, 4sylibr 233 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0))
6 xdivval 31831 . . 3 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
75, 6syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
82a1i 11 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
9 xlemul2 13219 . . . . . . 7 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
102, 9mp3an1 1449 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
1110ancoms 460 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
12 rpxr 12932 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
13 rpgt0 12935 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐ด)
14 xmulpnf1 13202 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1512, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1716breq1d 5119 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” +โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
1811, 17bitr2d 280 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” +โˆž โ‰ค ๐‘ฅ))
19 xmulcl 13201 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โˆˆ โ„*)
2012, 19sylan 581 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โˆˆ โ„*)
21 xgepnf 13093 . . . . 5 ((๐ด ยทe ๐‘ฅ) โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
2220, 21syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
23 xgepnf 13093 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ = +โˆž))
2423adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ = +โˆž))
2518, 22, 243bitr3d 309 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž โ†” ๐‘ฅ = +โˆž))
268, 25riota5 7347 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž) = +โˆž)
277, 26eqtrd 2773 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = +โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  โ„ฉcrio 7316  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059  +โˆžcpnf 11194  โ„*cxr 11196   < clt 11197   โ‰ค cle 11198  โ„+crp 12923   ยทe cxmu 13040   /๐‘’ cxdiv 31829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xmul 13043  df-xdiv 31830
This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  31847
  Copyright terms: Public domain W3C validator