Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivpnfrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivpnfrp 32669
Description: Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xdivpnfrp (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = +โˆž)

Proof of Theorem xdivpnfrp
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rprene0 13024 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0))
2 pnfxr 11299 . . . . 5 +โˆž โˆˆ โ„*
31, 2jctil 519 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž โˆˆ โ„* โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0)))
4 3anass 1093 . . . 4 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†” (+โˆž โˆˆ โ„* โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0)))
53, 4sylibr 233 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0))
6 xdivval 32655 . . 3 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
75, 6syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
82a1i 11 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
9 xlemul2 13303 . . . . . . 7 ((+โˆž โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
102, 9mp3an1 1445 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„* โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
1110ancoms 458 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
12 rpxr 13016 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
13 rpgt0 13019 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐ด)
14 xmulpnf1 13286 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1716breq1d 5158 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe +โˆž) โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” +โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ)))
1811, 17bitr2d 280 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” +โˆž โ‰ค ๐‘ฅ))
19 xmulcl 13285 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โˆˆ โ„*)
2012, 19sylan 579 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โˆˆ โ„*)
21 xgepnf 13177 . . . . 5 ((๐ด ยทe ๐‘ฅ) โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
2220, 21syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค (๐ด ยทe ๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž))
23 xgepnf 13177 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ = +โˆž))
2423adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (+โˆž โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ = +โˆž))
2518, 22, 243bitr3d 309 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž โ†” ๐‘ฅ = +โˆž))
268, 25riota5 7406 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ด ยทe ๐‘ฅ) = +โˆž) = +โˆž)
277, 26eqtrd 2768 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (+โˆž /๐‘’ ๐ด) = +โˆž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5148  โ„ฉcrio 7375  (class class class)co 7420  โ„cr 11138  0cc0 11139  +โˆžcpnf 11276  โ„*cxr 11278   < clt 11279   โ‰ค cle 11280  โ„+crp 13007   ยทe cxmu 13124   /๐‘’ cxdiv 32653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xmul 13127  df-xdiv 32654
This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  32671
  Copyright terms: Public domain W3C validator