Theorem xdivpnfrp 32915

Description: Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xdivpnfrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xdivpnfrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprene0 13052	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		pnfxr 11315	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	1, 2	jctil 519	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
4		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
5	3, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
6		xdivval 32901	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (+∞ /𝑒 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
8	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → +∞ ∈ ℝ*)
9		xlemul2 13333	. . . . . . 7 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
10	2, 9	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
11	10	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
12		rpxr 13044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		rpgt0 13047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
14		xmulpnf1 13316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
17	16	breq1d 5153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
18	11, 17	bitr2d 280	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ 𝑥))
19		xmulcl 13315	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
20	12, 19	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
21		xgepnf 13207	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
23		xgepnf 13207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 = +∞))
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 = +∞))
25	18, 22, 24	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝑥) = +∞ ↔ 𝑥 = +∞))
26	8, 25	riota5 7417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞) = +∞)
27	7, 26	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℝ⁺crp 13034   ·_e cxmu 13153   /_𝑒 cxdiv 32899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xmul 13156  df-xdiv 32900

This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  32917