Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivpnfrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivpnfrp 32534
Description: Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xdivpnfrp (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xdivpnfrp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rprene0 12998 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2 pnfxr 11275 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
31, 2jctil 519 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
4 3anass 1094 . . . 4 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
53, 4sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
6 xdivval 32520 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (+∞ /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
82a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → +∞ ∈ ℝ*)
9 xlemul2 13277 . . . . . . 7 ((+∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
102, 9mp3an1 1447 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
1110ancoms 458 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
12 rpxr 12990 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ*)
13 rpgt0 12993 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
14 xmulpnf1 13260 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1716breq1d 5158 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
1811, 17bitr2d 280 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ 𝑥))
19 xmulcl 13259 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
2012, 19sylan 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
21 xgepnf 13151 . . . . 5 ((𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
23 xgepnf 13151 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑥𝑥 = +∞))
2423adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥𝑥 = +∞))
2518, 22, 243bitr3d 309 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝑥) = +∞ ↔ 𝑥 = +∞))
268, 25riota5 7398 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞) = +∞)
277, 26eqtrd 2771 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939   class class class wbr 5148  crio 7367  (class class class)co 7412  cr 11115  0cc0 11116  +∞cpnf 11252  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256  +crp 12981   ·e cxmu 13098   /𝑒 cxdiv 32518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xmul 13101  df-xdiv 32519
This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  32536
  Copyright terms: Public domain W3C validator