Theorem xdivpnfrp 33230

Description: Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xdivpnfrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xdivpnfrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprene0 13035	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		pnfxr 11264	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	1, 2	jctil 528	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
4		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
5	3, 4	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
6		xdivval 33216	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (+∞ /𝑒 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
8	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → +∞ ∈ ℝ*)
9		xlemul2 13318	. . . . . . 7 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
10	2, 9	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
11	10	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
12		rpxr 13027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		rpgt0 13030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
14		xmulpnf1 13301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
15	12, 13, 14	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
16	15	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
17	16	breq1d 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
18	11, 17	bitr2d 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ 𝑥))
19		xmulcl 13300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
20	12, 19	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
21		xgepnf 13192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
23		xgepnf 13192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 = +∞))
24	23	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 = +∞))
25	18, 22, 24	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝑥) = +∞ ↔ 𝑥 = +∞))
26	8, 25	riota5 7398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞) = +∞)
27	7, 26	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℝ⁺crp 13017   ·_e cxmu 13137   /_𝑒 cxdiv 33214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xmul 13140  df-xdiv 33215

This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  33232