Theorem xdivpnfrp 31207

Description: Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xdivpnfrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xdivpnfrp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprene0 12747	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2		pnfxr 11029	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	1, 2	jctil 520	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
4		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
5	3, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
6		xdivval 31193	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (+∞ /𝑒 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
8	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → +∞ ∈ ℝ*)
9		xlemul2 13025	. . . . . . 7 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
10	2, 9	mp3an1 1447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
11	10	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
12		rpxr 12739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ*)
13		rpgt0 12742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
14		xmulpnf1 13008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
16	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
17	16	breq1d 5084	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
18	11, 17	bitr2d 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ 𝑥))
19		xmulcl 13007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
20	12, 19	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
21		xgepnf 12899	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
23		xgepnf 12899	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 = +∞))
24	23	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 = +∞))
25	18, 22, 24	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝑥) = +∞ ↔ 𝑥 = +∞))
26	8, 25	riota5 7262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞) = +∞)
27	7, 26	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℝ⁺crp 12730   ·_e cxmu 12847   /_𝑒 cxdiv 31191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xmul 12850  df-xdiv 31192

This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  31209