Theorem xdivcld 33006

Description: Closure law for the extended division. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xdivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xdivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
xdivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
xdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xdivcld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xdivcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xdivcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		xdivcld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		xdivval 33002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
6		xreceu 33005	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
8		riotacl 7332	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ*)
10	5, 9	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃!wreu 3348  ℩crio 7314  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028  ℝ^*cxr 11167   ·_e cxmu 13027   /_𝑒 cxdiv 33000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-xneg 13028  df-xmul 13030  df-xdiv 33001

This theorem is referenced by:  xdivcl  33007  xdivrec  33010