Theorem xdivcld 32865

Description: Closure law for the extended division. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xdivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xdivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
xdivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
xdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xdivcld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xdivcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xdivcld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		xdivcld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		xdivval 32861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
6		xreceu 32864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
8		riotacl 7399	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ*)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ*)
10	5, 9	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1535   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2936  ∃!wreu 3374  ℩crio 7380  (class class class)co 7425  ℝcr 11145  0cc0 11146  ℝ^*cxr 11285   ·_e cxmu 13144   /_𝑒 cxdiv 32859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-xneg 13145  df-xmul 13147  df-xdiv 32860

This theorem is referenced by:  xdivcl  32866  xdivrec  32869