Theorem xrecex 33205

Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xrecex	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 ·e 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem xrecex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rrecex 11171	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
2		rexmul 13296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
3	2	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
4	3	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 ·e 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 ·e 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
6	5	pm5.32d 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·e 𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
7	6	rexbidv2 3183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 ·e 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
8	1, 7	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 ·e 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   · cmul 11104   ·_e cxmu 13135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-xmul 13138

This theorem is referenced by:  xmulcand  33206  xreceu  33207