Theorem xrecex 31194

Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xrecex	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 ·e 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem xrecex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rrecex 10943	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
2		rexmul 13005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
3	2	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
4	3	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 ·e 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴 ·e 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
6	5	pm5.32d 577	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·e 𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
7	6	rexbidv2 3224	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 ·e 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
8	1, 7	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 ·e 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   ·_e cxmu 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-xmul 12850

This theorem is referenced by:  xmulcand  31195  xreceu  31196