Theorem xdivmul 33378

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xdivmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem xdivmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xdivval 33372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
2	1	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
3	2	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
4	3	eqeq1d 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
5		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		xreceu 33375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
7	6	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
8	7	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
9		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 ·e 𝑥) = (𝐶 ·e 𝐵))
10	9	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))
11	10	riota2 7399	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
12	5, 8, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
13	4, 12	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃!wreu 3365  ℩crio 7373  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  ℝ^*cxr 11270   ·_e cxmu 13166   /_𝑒 cxdiv 33370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-xneg 13167  df-xmul 13169  df-xdiv 33371

This theorem is used by:  xdivrec  33380