Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivmul 31837
Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xdivmul ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด /๐‘’ ๐ถ) = ๐ต โ†” (๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด))

Proof of Theorem xdivmul
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xdivval 31831 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ถ) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
213expb 1121 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ถ) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
323adant2 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ถ) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด))
43eqeq1d 2735 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด /๐‘’ ๐ถ) = ๐ต โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด) = ๐ต))
5 simp2 1138 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
6 xreceu 31834 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
763expb 1121 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
873adant2 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด)
9 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = (๐ถ ยทe ๐ต))
109eqeq1d 2735 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด))
1110riota2 7343 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด) = ๐ต))
125, 8, 11syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด โ†” (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„* (๐ถ ยทe ๐‘ฅ) = ๐ด) = ๐ต))
134, 12bitr4d 282 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด /๐‘’ ๐ถ) = ๐ต โ†” (๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒ!wreu 3350  โ„ฉcrio 7316  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059  โ„*cxr 11196   ยทe cxmu 13040   /๐‘’ cxdiv 31829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-xneg 13041  df-xmul 13043  df-xdiv 31830
This theorem is referenced by:  xdivrec  31839
  Copyright terms: Public domain W3C validator