Theorem xdivmul 33259

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xdivmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem xdivmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xdivval 33253	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
2	1	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
3	2	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
4	3	eqeq1d 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
5		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		xreceu 33256	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
7	6	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
8	7	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
9		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 ·e 𝑥) = (𝐶 ·e 𝐵))
10	9	eqeq1d 2768	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))
11	10	riota2 7398	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
12	5, 8, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
13	4, 12	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃!wreu 3370  ℩crio 7372  (class class class)co 7416  ℝcr 11109  0cc0 11110  ℝ^*cxr 11252   ·_e cxmu 13146   /_𝑒 cxdiv 33251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-xneg 13147  df-xmul 13149  df-xdiv 33252

This theorem is used by:  xdivrec  33261