![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > xdivmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Dec-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
xdivmul | โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด /๐ ๐ถ) = ๐ต โ (๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | xdivval 32660 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ (๐ด /๐ ๐ถ) = (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) | |
2 | 1 | 3expb 1117 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด /๐ ๐ถ) = (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) |
3 | 2 | 3adant2 1128 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ (๐ด /๐ ๐ถ) = (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) |
4 | 3 | eqeq1d 2729 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด /๐ ๐ถ) = ๐ต โ (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด) = ๐ต)) |
5 | simp2 1134 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ๐ต โ โ*) | |
6 | xreceu 32663 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0) โ โ!๐ฅ โ โ* (๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด) | |
7 | 6 | 3expb 1117 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ* โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ โ!๐ฅ โ โ* (๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด) |
8 | 7 | 3adant2 1128 | . . 3 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ โ!๐ฅ โ โ* (๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด) |
9 | oveq2 7432 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ต โ (๐ถ ยทe ๐ฅ) = (๐ถ ยทe ๐ต)) | |
10 | 9 | eqeq1d 2729 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ต โ ((๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด โ (๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด)) |
11 | 10 | riota2 7406 | . . 3 โข ((๐ต โ โ* โง โ!๐ฅ โ โ* (๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด) โ ((๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด) = ๐ต)) |
12 | 5, 8, 11 | syl2anc 582 | . 2 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ถ ยทe ๐ฅ) = ๐ด) = ๐ต)) |
13 | 4, 12 | bitr4d 281 | 1 โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด /๐ ๐ถ) = ๐ต โ (๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2936 โ!wreu 3370 โฉcrio 7379 (class class class)co 7424 โcr 11143 0cc0 11144 โ*cxr 11283 ยทe cxmu 13129 /๐ cxdiv 32658 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pow 5367 ax-pr 5431 ax-un 7744 ax-cnex 11200 ax-resscn 11201 ax-1cn 11202 ax-icn 11203 ax-addcl 11204 ax-addrcl 11205 ax-mulcl 11206 ax-mulrcl 11207 ax-mulcom 11208 ax-addass 11209 ax-mulass 11210 ax-distr 11211 ax-i2m1 11212 ax-1ne0 11213 ax-1rid 11214 ax-rnegex 11215 ax-rrecex 11216 ax-cnre 11217 ax-pre-lttri 11218 ax-pre-lttrn 11219 ax-pre-ltadd 11220 ax-pre-mulgt0 11221 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4325 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4911 df-iun 5000 df-br 5151 df-opab 5213 df-mpt 5234 df-id 5578 df-po 5592 df-so 5593 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-rn 5691 df-res 5692 df-ima 5693 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fn 6554 df-f 6555 df-f1 6556 df-fo 6557 df-f1o 6558 df-fv 6559 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-1st 7997 df-2nd 7998 df-er 8729 df-en 8969 df-dom 8970 df-sdom 8971 df-pnf 11286 df-mnf 11287 df-xr 11288 df-ltxr 11289 df-le 11290 df-sub 11482 df-neg 11483 df-xneg 13130 df-xmul 13132 df-xdiv 32659 |
This theorem is referenced by: xdivrec 32668 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |