Theorem xdivmul 32086

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xdivmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem xdivmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xdivval 32080	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
2	1	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
3	2	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
4	3	eqeq1d 2734	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
5		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		xreceu 32083	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
7	6	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
8	7	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
9		oveq2 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 ·e 𝑥) = (𝐶 ·e 𝐵))
10	9	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))
11	10	riota2 7390	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
12	5, 8, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
13	4, 12	bitr4d 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃!wreu 3374  ℩crio 7363  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  ℝ^*cxr 11246   ·_e cxmu 13090   /_𝑒 cxdiv 32078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-xneg 13091  df-xmul 13093  df-xdiv 32079

This theorem is referenced by:  xdivrec  32088