Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivmul 30209
 Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xdivmul ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem xdivmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xdivval 30203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
213expb 1110 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
323adant2 1122 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
43eqeq1d 2780 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
5 simp2 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 xreceu 30206 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
763expb 1110 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
873adant2 1122 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
9 oveq2 6932 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 ·e 𝑥) = (𝐶 ·e 𝐵))
109eqeq1d 2780 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))
1110riota2 6907 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
125, 8, 11syl2anc 579 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
134, 12bitr4d 274 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃!wreu 3092  ℩crio 6884  (class class class)co 6924  ℝcr 10273  0cc0 10274  ℝ*cxr 10412   ·e cxmu 12261   /𝑒 cxdiv 30201 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-xneg 12262  df-xmul 12264  df-xdiv 30202 This theorem is referenced by:  xdivrec  30211
 Copyright terms: Public domain W3C validator