Theorem xdivmul 32594

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xdivmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem xdivmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xdivval 32588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
2	1	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
3	2	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 /𝑒 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴))
4	3	eqeq1d 2728	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
5		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		xreceu 32591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
7	6	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
8	7	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴)
9		oveq2 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 ·e 𝑥) = (𝐶 ·e 𝐵))
10	9	eqeq1d 2728	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))
11	10	riota2 7386	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
12	5, 8, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ* (𝐶 ·e 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
13	4, 12	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 ·e 𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∃!wreu 3368  ℩crio 7359  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  0cc0 11109  ℝ^*cxr 11248   ·_e cxmu 13094   /_𝑒 cxdiv 32586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-xneg 13095  df-xmul 13097  df-xdiv 32587

This theorem is referenced by:  xdivrec  32596