Theorem xp1en 9052

Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xp1en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem xp1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8461	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	xpeq2i 5690	. 2 ⊢ (𝐴 × 1o) = (𝐴 × {∅})
3		0ex 5271	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		xpsneng 9051	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
5	3, 4	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
6	2, 5	eqbrtrid 5147	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4287  {csn 4590   class class class wbr 5110   × cxp 5661  1_oc1o 8447   ≈ cen 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-suc 6368  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-1o 8454  df-en 8945

This theorem is referenced by:  1enumen  35466