Theorem xp1en 9078

Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xp1en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem xp1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8494	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	xpeq2i 5692	. 2 ⊢ (𝐴 × 1o) = (𝐴 × {∅})
3		0ex 5287	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		xpsneng 9077	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
5	3, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
6	2, 5	eqbrtrid 5158	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ∅c0 4313  {csn 4606   class class class wbr 5123   × cxp 5663  1_oc1o 8480   ≈ cen 8963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-suc 6369  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-1o 8487  df-en 8967

This theorem is referenced by: (None)