Theorem xp1en 9029

Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xp1en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem xp1en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8438	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
2	1	xpeq2i 5670	. 2 ⊢ (𝐴 × 1o) = (𝐴 × {∅})
3		0ex 5254	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		xpsneng 9028	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
5	3, 4	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
6	2, 5	eqbrtrid 5132	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4283  {csn 4579   class class class wbr 5097   × cxp 5641  1_oc1o 8424   ≈ cen 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-suc 6347  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-1o 8431  df-en 8922

This theorem is referenced by: (None)