MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp1en Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xp1en 9008
Description: One times a cardinal number. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xp1en (𝐴𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem xp1en
StepHypRef Expression
1 df1o2 8424 . . 3 1o = {∅}
21xpeq2i 5665 . 2 (𝐴 × 1o) = (𝐴 × {∅})
3 0ex 5269 . . 3 ∅ ∈ V
4 xpsneng 9007 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
53, 4mpan2 690 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
62, 5eqbrtrid 5145 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  Vcvv 3448  c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   × cxp 5636  1oc1o 8410  cen 8887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-suc 6328  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-1o 8417  df-en 8891
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator