MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem4 21512
Description: Lemma 4 for pzriprng 21525: 𝐼 is a subgroup of 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (ℤring ×sring)
pzriprng.i 𝐼 = (ℤ × {0})
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem4 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem4
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 12621 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 c0ex 11252 . . . . . 6 0 ∈ V
32snss 4789 . . . . 5 (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
41, 3mpbi 230 . . . 4 {0} ⊆ ℤ
5 xpss2 5708 . . . 4 ({0} ⊆ ℤ → (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ))
64, 5ax-mp 5 . . 3 (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ)
7 pzriprng.i . . 3 𝐼 = (ℤ × {0})
8 pzriprng.r . . . 4 𝑅 = (ℤring ×sring)
98pzriprnglem2 21510 . . 3 (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
106, 7, 93sstr4i 4038 . 2 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅)
111ne0ii 4349 . . . . 5 ℤ ≠ ∅
122snnz 4780 . . . . 5 {0} ≠ ∅
1311, 12pm3.2i 470 . . . 4 (ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅)
14 xpnz 6180 . . . 4 ((ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅) ↔ (ℤ × {0}) ≠ ∅)
1513, 14mpbi 230 . . 3 (ℤ × {0}) ≠ ∅
167, 15eqnetri 3008 . 2 𝐼 ≠ ∅
178, 7pzriprnglem3 21511 . . . 4 (𝑥𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
188, 7pzriprnglem3 21511 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
21 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
2220, 21oveqan12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(+g𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
23 zringbas 21481 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ = (Base‘ℤring)
24 zringring 21477 . . . . . . . . . . . . . 14 ring ∈ Ring
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
26 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
29 zaddcl 12654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
30 00id 11433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
3130, 1eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 0) ∈ ℤ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0 + 0) ∈ ℤ)
33 zringplusg 21482 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g‘ℤring)
34 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
358, 23, 23, 25, 25, 26, 27, 28, 27, 29, 32, 33, 33, 34xpsadd 17620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩)
362snid 4666 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ {0}
3730, 36eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 0) ∈ {0}
387eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
39 opelxp 5724 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
4038, 39bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
4129, 37, 40sylanblrc 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼)
4235, 41eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
4342ad4ant13 751 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (⟨𝑎, 0⟩(+g𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
4422, 43eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
4544rexlimdva2 3154 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
4618, 45biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑦𝐼 → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
4746ralrimiv 3142 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
48 zringgrp 21480 . . . . . . . . . . 11 ring ∈ Grp
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
50 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
511a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
52 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
53 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (invg𝑅) = (invg𝑅)
548, 23, 23, 49, 49, 50, 51, 52, 52, 53xpsinv 19090 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → ((invg𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) = ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩)
55 zringinvg 21493 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
56 znegcl 12649 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
5755, 56eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ ℤ)
58 neg0 11552 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
5958, 36eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 -0 ∈ {0}
60 zringinvg 21493 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ → -0 = ((invg‘ℤring)‘0))
6160eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
621, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
6359, 62mpbii 233 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0})
6457, 63opelxpd 5727 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
6554, 64eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℤ → ((invg𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
67 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((invg𝑅)‘𝑥) = ((invg𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
6867adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg𝑅)‘𝑥) = ((invg𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
697a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
7066, 68, 693eltr4d 2853 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
7147, 70jca 511 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
7271rexlimiva 3144 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
7317, 72sylbi 217 . . 3 (𝑥𝐼 → (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
7473rgen 3060 . 2 𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
758pzriprnglem1 21509 . . . 4 𝑅 ∈ Rng
76 rnggrp 20175 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7775, 76ax-mp 5 . . 3 𝑅 ∈ Grp
78 eqid 2734 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7978, 34, 53issubg2 19171 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
8077, 79ax-mp 5 . 2 (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)))
8110, 16, 74, 80mpbir3an 1340 1 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  cop 4636   × cxp 5686  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152   + caddc 11155  -cneg 11490  cz 12610  Basecbs 17244  +gcplusg 17297   ×s cxps 17552  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  SubGrpcsubg 19150  Rngcrng 20169  Ringcrg 20250  ringczring 21474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-prds 17493  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-subg 19153  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-cnfld 21382  df-zring 21475
This theorem is referenced by:  pzriprnglem5  21513  pzriprnglem8  21516  pzriprnglem12  21520  pzriprnglem13  21521
  Copyright terms: Public domain W3C validator