MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem4 21495
Description: Lemma 4 for pzriprng 21508: 𝐼 is a subgroup of 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (ℤring ×sring)
pzriprng.i 𝐼 = (ℤ × {0})
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem4 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem4
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 12624 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 c0ex 11255 . . . . . 6 0 ∈ V
32snss 4785 . . . . 5 (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
41, 3mpbi 230 . . . 4 {0} ⊆ ℤ
5 xpss2 5705 . . . 4 ({0} ⊆ ℤ → (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ))
64, 5ax-mp 5 . . 3 (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ)
7 pzriprng.i . . 3 𝐼 = (ℤ × {0})
8 pzriprng.r . . . 4 𝑅 = (ℤring ×sring)
98pzriprnglem2 21493 . . 3 (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
106, 7, 93sstr4i 4035 . 2 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅)
111ne0ii 4344 . . . . 5 ℤ ≠ ∅
122snnz 4776 . . . . 5 {0} ≠ ∅
1311, 12pm3.2i 470 . . . 4 (ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅)
14 xpnz 6179 . . . 4 ((ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅) ↔ (ℤ × {0}) ≠ ∅)
1513, 14mpbi 230 . . 3 (ℤ × {0}) ≠ ∅
167, 15eqnetri 3011 . 2 𝐼 ≠ ∅
178, 7pzriprnglem3 21494 . . . 4 (𝑥𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
188, 7pzriprnglem3 21494 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
21 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
2220, 21oveqan12d 7450 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(+g𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
23 zringbas 21464 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ = (Base‘ℤring)
24 zringring 21460 . . . . . . . . . . . . . 14 ring ∈ Ring
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
26 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
29 zaddcl 12657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
30 00id 11436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 0) = 0
3130, 1eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 0) ∈ ℤ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0 + 0) ∈ ℤ)
33 zringplusg 21465 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g‘ℤring)
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
358, 23, 23, 25, 25, 26, 27, 28, 27, 29, 32, 33, 33, 34xpsadd 17619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩)
362snid 4662 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ {0}
3730, 36eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 0) ∈ {0}
387eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
39 opelxp 5721 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
4038, 39bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
4129, 37, 40sylanblrc 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼)
4235, 41eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
4342ad4ant13 751 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (⟨𝑎, 0⟩(+g𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
4422, 43eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
4544rexlimdva2 3157 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
4618, 45biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑦𝐼 → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
4746ralrimiv 3145 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
48 zringgrp 21463 . . . . . . . . . . 11 ring ∈ Grp
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
50 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
511a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
52 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
53 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (invg𝑅) = (invg𝑅)
548, 23, 23, 49, 49, 50, 51, 52, 52, 53xpsinv 19078 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → ((invg𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) = ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩)
55 zringinvg 21476 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
56 znegcl 12652 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
5755, 56eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ ℤ)
58 neg0 11555 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
5958, 36eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 -0 ∈ {0}
60 zringinvg 21476 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ → -0 = ((invg‘ℤring)‘0))
6160eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
621, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
6359, 62mpbii 233 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0})
6457, 63opelxpd 5724 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
6554, 64eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℤ → ((invg𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
67 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((invg𝑅)‘𝑥) = ((invg𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
6867adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg𝑅)‘𝑥) = ((invg𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
697a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
7066, 68, 693eltr4d 2856 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
7147, 70jca 511 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
7271rexlimiva 3147 . . . 4 (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
7317, 72sylbi 217 . . 3 (𝑥𝐼 → (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
7473rgen 3063 . 2 𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
758pzriprnglem1 21492 . . . 4 𝑅 ∈ Rng
76 rnggrp 20155 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7775, 76ax-mp 5 . . 3 𝑅 ∈ Grp
78 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7978, 34, 53issubg2 19159 . . 3 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
8077, 79ax-mp 5 . 2 (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐼 (∀𝑦𝐼 (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)))
8110, 16, 74, 80mpbir3an 1342 1 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cop 4632   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158  -cneg 11493  cz 12613  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   ×s cxps 17551  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  Rngcrng 20149  Ringcrg 20230  ringczring 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-zring 21458
This theorem is referenced by:  pzriprnglem5  21496  pzriprnglem8  21499  pzriprnglem12  21503  pzriprnglem13  21504
  Copyright terms: Public domain W3C validator