Theorem pzriprnglem4 21643

Description: Lemma 4 for pzriprng 21656: 𝐼 is a subgroup of 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem4	⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12606	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		c0ex 11204	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snss 4750	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ ℤ
5		xpss2 5681	. . . 4 ⊢ ({0} ⊆ ℤ → (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ)
7		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
8		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
9	8	pzriprnglem2 21641	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
10	6, 7, 9	3sstr4i 3988	. 2 ⊢ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅)
11	1	ne0ii 4297	. . . . 5 ⊢ ℤ ≠ ∅
12	2	snnz 4742	. . . . 5 ⊢ {0} ≠ ∅
13	11, 12	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ (ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅)
14		xpnz 6156	. . . 4 ⊢ ((ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅) ↔ (ℤ × {0}) ≠ ∅)
15	13, 14	mpbi 233	. . 3 ⊢ (ℤ × {0}) ≠ ∅
16	7, 15	eqnetri 3028	. 2 ⊢ 𝐼 ≠ ∅
17	8, 7	pzriprnglem3 21642	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
18	8, 7	pzriprnglem3 21642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
19		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
20	19	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
21		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
22	20, 21	oveqan12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
23		zringbas 21612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		zringring 21608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤring ∈ Ring
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
26		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
27	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
28		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
29		zaddcl 12638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
30		00id 11389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 0) = 0
31	30, 1	eqeltri 2859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 0) ∈ ℤ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0 + 0) ∈ ℤ)
33		zringplusg 21613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘ℤring)
34		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
35	8, 23, 23, 25, 25, 26, 27, 28, 27, 29, 32, 33, 33, 34	xpsadd 17632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩)
36	2	snid 4628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ {0}
37	30, 36	eqeltri 2859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) ∈ {0}
38	7	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
39		opelxp 5697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
40	38, 39	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
41	29, 37, 40	sylanblrc 601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼)
42	35, 41	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
43	42	ad4ant13 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
44	22, 43	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
45	44	rexlimdva2 3168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
46	18, 45	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
47	46	ralrimiv 3156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
48		zringgrp 21611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Grp
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
50		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
51	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
52		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
53		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
54	8, 23, 23, 49, 49, 50, 51, 52, 52, 53	xpsinv 19130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) = ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩)
55		zringinvg 21624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
56		znegcl 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
57	55, 56	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ ℤ)
58		neg0 11508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
59	58, 36	eqeltri 2859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 ∈ {0}
60		zringinvg 21624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ → -0 = ((invg‘ℤring)‘0))
61	60	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
62	1, 61	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
63	59, 62	mpbii 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0})
64	57, 63	opelxpd 5700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
65	54, 64	eqeltrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
66	65	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
67		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((invg‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
68	67	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
69	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
70	66, 68, 69	3eltr4d 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
71	47, 70	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
72	71	rexlimiva 3158	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
73	17, 72	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
74	73	rgen 3081	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
75	8	pzriprnglem1 21640	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
76		rnggrp 20240	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
77	75, 76	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Grp
78		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
79	78, 34, 53	issubg2 19212	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
80	77, 79	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)))
81	10, 16, 74, 80	mpbir3an 1360	1 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104   + caddc 11107  -cneg 11446  ℤcz 12595  Basecbs 17273  +_gcplusg 17314   ×_s cxps 17564  Grpcgrp 19004  inv_gcminusg 19005  SubGrpcsubg 19190  Rngcrng 20234  Ringcrg 20319  ℤ_ringczring 21605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-prds 17504  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-subg 19193  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-cnfld 21532  df-zring 21606

This theorem is used by:  pzriprnglem5  21644  pzriprnglem8  21647  pzriprnglem12  21651  pzriprnglem13  21652