Theorem pzriprnglem4 21457

Description: Lemma 4 for pzriprng 21470: 𝐼 is a subgroup of 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem4	⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12607	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		c0ex 11237	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snss 4765	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ ℤ
5		xpss2 5685	. . . 4 ⊢ ({0} ⊆ ℤ → (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ)
7		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
8		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
9	8	pzriprnglem2 21455	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
10	6, 7, 9	3sstr4i 4015	. 2 ⊢ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅)
11	1	ne0ii 4324	. . . . 5 ⊢ ℤ ≠ ∅
12	2	snnz 4756	. . . . 5 ⊢ {0} ≠ ∅
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅)
14		xpnz 6159	. . . 4 ⊢ ((ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅) ↔ (ℤ × {0}) ≠ ∅)
15	13, 14	mpbi 230	. . 3 ⊢ (ℤ × {0}) ≠ ∅
16	7, 15	eqnetri 3001	. 2 ⊢ 𝐼 ≠ ∅
17	8, 7	pzriprnglem3 21456	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
18	8, 7	pzriprnglem3 21456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
21		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
22	20, 21	oveqan12d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
23		zringbas 21426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		zringring 21422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤring ∈ Ring
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
26		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
27	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
29		zaddcl 12640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
30		00id 11418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 0) = 0
31	30, 1	eqeltri 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 0) ∈ ℤ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0 + 0) ∈ ℤ)
33		zringplusg 21427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘ℤring)
34		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
35	8, 23, 23, 25, 25, 26, 27, 28, 27, 29, 32, 33, 33, 34	xpsadd 17590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩)
36	2	snid 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ {0}
37	30, 36	eqeltri 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) ∈ {0}
38	7	eleq2i 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
39		opelxp 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
40	38, 39	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
41	29, 37, 40	sylanblrc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼)
42	35, 41	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
43	42	ad4ant13 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
44	22, 43	eqeltrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
45	44	rexlimdva2 3144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
46	18, 45	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
47	46	ralrimiv 3132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
48		zringgrp 21425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Grp
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
50		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
51	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
52		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
53		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
54	8, 23, 23, 49, 49, 50, 51, 52, 52, 53	xpsinv 19047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) = ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩)
55		zringinvg 21438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
56		znegcl 12635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
57	55, 56	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ ℤ)
58		neg0 11537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
59	58, 36	eqeltri 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 ∈ {0}
60		zringinvg 21438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ → -0 = ((invg‘ℤring)‘0))
61	60	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
62	1, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
63	59, 62	mpbii 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0})
64	57, 63	opelxpd 5704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
65	54, 64	eqeltrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
66	65	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
67		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((invg‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
68	67	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
69	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
70	66, 68, 69	3eltr4d 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
71	47, 70	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
72	71	rexlimiva 3134	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
73	17, 72	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
74	73	rgen 3052	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
75	8	pzriprnglem1 21454	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
76		rnggrp 20123	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
77	75, 76	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Grp
78		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
79	78, 34, 53	issubg2 19128	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
80	77, 79	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)))
81	10, 16, 74, 80	mpbir3an 1341	1 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606  ⟨cop 4612   × cxp 5663  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  0cc0 11137   + caddc 11140  -cneg 11475  ℤcz 12596  Basecbs 17229  +_gcplusg 17273   ×_s cxps 17522  Grpcgrp 18920  inv_gcminusg 18921  SubGrpcsubg 19107  Rngcrng 20117  Ringcrg 20198  ℤ_ringczring 21419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-addf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-hom 17297  df-cco 17298  df-0g 17457  df-prds 17463  df-imas 17524  df-xps 17526  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-subg 19110  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-cnfld 21327  df-zring 21420

This theorem is referenced by:  pzriprnglem5  21458  pzriprnglem8  21461  pzriprnglem12  21465  pzriprnglem13  21466