Theorem pzriprnglem4 21817

Description: Lemma 4 for pzriprng 21830: 𝐼 is a subgroup of 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem4	⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12728	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		c0ex 11324	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snss 4745	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbi 233	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ ℤ
5		xpss2 5675	. . . 4 ⊢ ({0} ⊆ ℤ → (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ)
7		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
8		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
9	8	pzriprnglem2 21815	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
10	6, 7, 9	3sstr4i 3964	. 2 ⊢ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅)
11	1	ne0ii 4293	. . . . 5 ⊢ ℤ ≠ ∅
12	2	snnz 4737	. . . . 5 ⊢ {0} ≠ ∅
13	11, 12	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅)
14		xpnz 6161	. . . 4 ⊢ ((ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅) ↔ (ℤ × {0}) ≠ ∅)
15	13, 14	mpbi 233	. . 3 ⊢ (ℤ × {0}) ≠ ∅
16	7, 15	eqnetri 3029	. 2 ⊢ 𝐼 ≠ ∅
17	8, 7	pzriprnglem3 21816	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
18	8, 7	pzriprnglem3 21816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
19		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
21		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
22	20, 21	oveqan12d 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
23		zringbas 21786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		zringring 21782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤring ∈ Ring
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
26		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
27	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
28		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
29		zaddcl 12760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
30		00id 11509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 0) = 0
31	30, 1	eqeltri 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 0) ∈ ℤ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0 + 0) ∈ ℤ)
33		zringplusg 21787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘ℤring)
34		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
35	8, 23, 23, 25, 25, 26, 27, 28, 27, 29, 32, 33, 33, 34	xpsadd 17772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩)
36	2	snid 4623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ {0}
37	30, 36	eqeltri 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) ∈ {0}
38	7	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
39		opelxp 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
40	38, 39	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
41	29, 37, 40	sylanblrc 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼)
42	35, 41	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
43	42	ad4ant13 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
44	22, 43	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
45	44	rexlimdva2 3169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
46	18, 45	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
47	46	ralrimiv 3157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
48		zringgrp 21785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Grp
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
50		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
51	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
52		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
53		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
54	8, 23, 23, 49, 49, 50, 51, 52, 52, 53	xpsinv 19296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) = ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩)
55		zringinvg 21798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
56		znegcl 12755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
57	55, 56	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ ℤ)
58		neg0 11628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
59	58, 36	eqeltri 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 ∈ {0}
60		zringinvg 21798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ → -0 = ((invg‘ℤring)‘0))
61	60	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → ( -0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
62	1, 61	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ( -0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
63	59, 62	mpbii 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0})
64	57, 63	opelxpd 5694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
65	54, 64	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
66	65	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
67		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((invg‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
68	67	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
69	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
70	66, 68, 69	3eltr4d 2879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
71	47, 70	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
72	71	rexlimiva 3159	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
73	17, 72	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
74	73	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
75	8	pzriprnglem1 21814	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
76		rnggrp 20407	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
77	75, 76	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Grp
78		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
79	78, 34, 53	issubg2 19378	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
80	77, 79	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)))
81	10, 16, 74, 80	mpbir3an 1360	1 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   × cxp 5653  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224   + caddc 11227   -cneg 11566  ℤcz 12717  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454   ×_s cxps 17704  Grpcgrp 19170  inv_gcminusg 19171  SubGrpcsubg 19356  Rngcrng 20401  Ringcrg 20486  ℤ_ringczring 21779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-prds 17644  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-cnfld 21706  df-zring 21780

This theorem is used by:  pzriprnglem5  21818  pzriprnglem8  21821  pzriprnglem12  21825  pzriprnglem13  21826