Theorem pzriprnglem4 21426

Description: Lemma 4 for pzriprng 21439: 𝐼 is a subgroup of 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem4	⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12516	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		c0ex 11144	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snss 4745	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbi 230	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ ℤ
5		xpss2 5651	. . . 4 ⊢ ({0} ⊆ ℤ → (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ)
7		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
8		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
9	8	pzriprnglem2 21424	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
10	6, 7, 9	3sstr4i 3995	. 2 ⊢ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅)
11	1	ne0ii 4303	. . . . 5 ⊢ ℤ ≠ ∅
12	2	snnz 4736	. . . . 5 ⊢ {0} ≠ ∅
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅)
14		xpnz 6120	. . . 4 ⊢ ((ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅) ↔ (ℤ × {0}) ≠ ∅)
15	13, 14	mpbi 230	. . 3 ⊢ (ℤ × {0}) ≠ ∅
16	7, 15	eqnetri 2995	. 2 ⊢ 𝐼 ≠ ∅
17	8, 7	pzriprnglem3 21425	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
18	8, 7	pzriprnglem3 21425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
21		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
22	20, 21	oveqan12d 7388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
23		zringbas 21395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		zringring 21391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤring ∈ Ring
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
26		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
27	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
29		zaddcl 12549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
30		00id 11325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 0) = 0
31	30, 1	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 0) ∈ ℤ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0 + 0) ∈ ℤ)
33		zringplusg 21396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘ℤring)
34		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
35	8, 23, 23, 25, 25, 26, 27, 28, 27, 29, 32, 33, 33, 34	xpsadd 17513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩)
36	2	snid 4622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ {0}
37	30, 36	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) ∈ {0}
38	7	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
39		opelxp 5667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
40	38, 39	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
41	29, 37, 40	sylanblrc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼)
42	35, 41	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
43	42	ad4ant13 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
44	22, 43	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
45	44	rexlimdva2 3136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
46	18, 45	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
47	46	ralrimiv 3124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
48		zringgrp 21394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Grp
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
50		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
51	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
52		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
53		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
54	8, 23, 23, 49, 49, 50, 51, 52, 52, 53	xpsinv 18974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) = ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩)
55		zringinvg 21407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
56		znegcl 12544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
57	55, 56	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ ℤ)
58		neg0 11444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
59	58, 36	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 ∈ {0}
60		zringinvg 21407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ → -0 = ((invg‘ℤring)‘0))
61	60	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
62	1, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
63	59, 62	mpbii 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0})
64	57, 63	opelxpd 5670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
65	54, 64	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
66	65	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
67		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((invg‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
68	67	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
69	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
70	66, 68, 69	3eltr4d 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
71	47, 70	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
72	71	rexlimiva 3126	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
73	17, 72	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
74	73	rgen 3046	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
75	8	pzriprnglem1 21423	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
76		rnggrp 20078	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
77	75, 76	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Grp
78		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
79	78, 34, 53	issubg2 19055	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
80	77, 79	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)))
81	10, 16, 74, 80	mpbir3an 1342	1 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  ⟨cop 4591   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044   + caddc 11047  -cneg 11382  ℤcz 12505  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196   ×_s cxps 17445  Grpcgrp 18847  inv_gcminusg 18848  SubGrpcsubg 19034  Rngcrng 20072  Ringcrg 20153  ℤ_ringczring 21388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-prds 17386  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-subg 19037  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-cnfld 21297  df-zring 21389

This theorem is referenced by:  pzriprnglem5  21427  pzriprnglem8  21430  pzriprnglem12  21434  pzriprnglem13  21435