Theorem pzriprnglem4 21463

Description: Lemma 4 for pzriprng 21476: 𝐼 is a subgroup of 𝑅. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem4	⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

Proof of Theorem pzriprnglem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12530	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		c0ex 11133	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
3	2	snss 4719	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
4	1, 3	mpbi 232	. . . 4 ⊢ {0} ⊆ ℤ
5		xpss2 5641	. . . 4 ⊢ ({0} ⊆ ℤ → (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ)
7		pzriprng.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
8		pzriprng.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
9	8	pzriprnglem2 21461	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
10	6, 7, 9	3sstr4i 3968	. 2 ⊢ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅)
11	1	ne0ii 4275	. . . . 5 ⊢ ℤ ≠ ∅
12	2	snnz 4711	. . . . 5 ⊢ {0} ≠ ∅
13	11, 12	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ (ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅)
14		xpnz 6114	. . . 4 ⊢ ((ℤ ≠ ∅ ∧ {0} ≠ ∅) ↔ (ℤ × {0}) ≠ ∅)
15	13, 14	mpbi 232	. . 3 ⊢ (ℤ × {0}) ≠ ∅
16	7, 15	eqnetri 3006	. 2 ⊢ 𝐼 ≠ ∅
17	8, 7	pzriprnglem3 21462	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
18	8, 7	pzriprnglem3 21462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
19		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
20	19	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩)
21		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩)
22	20, 21	oveqan12d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩))
23		zringbas 21432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		zringring 21428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤring ∈ Ring
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
26		simpl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
27	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
28		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
29		zaddcl 12562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
30		00id 11316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 0) = 0
31	30, 1	eqeltri 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 0) ∈ ℤ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (0 + 0) ∈ ℤ)
33		zringplusg 21433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘ℤring)
34		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
35	8, 23, 23, 25, 25, 26, 27, 28, 27, 29, 32, 33, 33, 34	xpsadd 17533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) = ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩)
36	2	snid 4597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ {0}
37	30, 36	eqeltri 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) ∈ {0}
38	7	eleq2i 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
39		opelxp 5657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ (ℤ × {0}) ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
40	38, 39	bitri 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼 ↔ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ (0 + 0) ∈ {0}))
41	29, 37, 40	sylanblrc 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ⟨(𝑎 + 𝑏), (0 + 0)⟩ ∈ 𝐼)
42	35, 41	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
43	42	ad4ant13 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (⟨𝑎, 0⟩(+g‘𝑅)⟨𝑏, 0⟩) ∈ 𝐼)
44	22, 43	eqeltrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
45	44	rexlimdva2 3144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 0⟩ → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
46	18, 45	biimtrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (𝑦 ∈ 𝐼 → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼))
47	46	ralrimiv 3132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼)
48		zringgrp 21431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring ∈ Grp
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ℤring ∈ Grp)
50		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℤ)
51	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ)
52		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
53		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
54	8, 23, 23, 49, 49, 50, 51, 52, 52, 53	xpsinv 19031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) = ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩)
55		zringinvg 21444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
56		znegcl 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
57	55, 56	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ ℤ)
58		neg0 11435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
59	58, 36	eqeltri 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -0 ∈ {0}
60		zringinvg 21444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℤ → -0 = ((invg‘ℤring)‘0))
61	60	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
62	1, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (-0 ∈ {0} ↔ ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0}))
63	59, 62	mpbii 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘0) ∈ {0})
64	57, 63	opelxpd 5660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ⟨((invg‘ℤring)‘𝑎), ((invg‘ℤring)‘0)⟩ ∈ (ℤ × {0}))
65	54, 64	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
66	65	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩) ∈ (ℤ × {0}))
67		fveq2 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → ((invg‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
68	67	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘𝑅)‘⟨𝑎, 0⟩))
69	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → 𝐼 = (ℤ × {0}))
70	66, 68, 69	3eltr4d 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
71	47, 70	jca 517	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩) → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
72	71	rexlimiva 3134	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑥 = ⟨𝑎, 0⟩ → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
73	17, 72	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))
74	73	rgen 3057	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)
75	8	pzriprnglem1 21460	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ Rng
76		rnggrp 20134	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
77	75, 76	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Grp
78		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
79	78, 34, 53	issubg2 19112	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼))))
80	77, 79	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐼 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐼)))
81	10, 16, 74, 80	mpbir3an 1349	1 ⊢ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  {csn 4558  ⟨cop 4564   × cxp 5619  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033   + caddc 11036  -cneg 11373  ℤcz 12519  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215   ×_s cxps 17465  Grpcgrp 18904  inv_gcminusg 18905  SubGrpcsubg 19091  Rngcrng 20128  Ringcrg 20209  ℤ_ringczring 21425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-cnfld 21352  df-zring 21426

This theorem is referenced by:  pzriprnglem5  21464  pzriprnglem8  21467  pzriprnglem12  21471  pzriprnglem13  21472