Theorem xp0 6158

Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5775	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 5875	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 6157	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 6141	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2769	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4323   × cxp 5675  ^◡ccnv 5676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685

This theorem is referenced by:  xpnz  6159  xpdisj2  6162  difxp1  6165  dmxpss  6171  rnxpid  6173  xpcan  6176  unixp  6282  dfpo2  6296  fconst5  7207  dfac5lem3  10120  djuassen  10173  xpdjuen  10174  alephadd  10572  fpwwe2lem12  10637  0ssc  17787  fuchom  17913  fuchomOLD  17914  frmdplusg  18735  mulgfval  18952  mulgfvalALT  18953  mulgfvi  18956  ga0  19162  efgval  19585  psrplusg  21500  psrvscafval  21509  opsrle  21602  ply1plusgfvi  21764  txindislem  23137  txhaus  23151  0met  23872  2ndimaxp  31872  aciunf1  31888  hashxpe  32019  mbfmcst  33258  0rrv  33450  sate0  34406  mexval  34493  mdvval  34495  mpstval  34526  elima4  34747  finxp00  36283  isbnd3  36652  zrdivrng  36821  mofeu  47514