Theorem xp0 5982

Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5613	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 5709	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 5981	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 5966	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2829	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1538  ∅c0 4243   × cxp 5517  ^◡ccnv 5518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527

This theorem is referenced by:  xpnz  5983  xpdisj2  5986  difxp1  5989  dmxpss  5995  rnxpid  5997  xpcan  6000  unixp  6101  fconst5  6945  dfac5lem3  9536  djuassen  9589  xpdjuen  9590  alephadd  9988  fpwwe2lem13  10053  0ssc  17099  fuchom  17223  frmdplusg  18011  mulgfval  18218  mulgfvalALT  18219  mulgfvi  18222  ga0  18420  efgval  18835  psrplusg  20619  psrvscafval  20628  opsrle  20715  ply1plusgfvi  20871  txindislem  22238  txhaus  22252  0met  22973  2ndimaxp  30409  aciunf1  30426  hashxpe  30555  mbfmcst  31627  0rrv  31819  sate0  32775  mexval  32862  mdvval  32864  mpstval  32895  dfpo2  33104  elima4  33132  finxp00  34819  isbnd3  35222  zrdivrng  35391