Theorem xp0 6155

Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5773	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 5873	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 6154	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 6138	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2769	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4322   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684

This theorem is referenced by:  xpnz  6156  xpdisj2  6159  difxp1  6162  dmxpss  6168  rnxpid  6170  xpcan  6173  unixp  6279  dfpo2  6293  fconst5  7204  dfac5lem3  10117  djuassen  10170  xpdjuen  10171  alephadd  10569  fpwwe2lem12  10634  0ssc  17784  fuchom  17910  fuchomOLD  17911  frmdplusg  18732  mulgfval  18947  mulgfvalALT  18948  mulgfvi  18951  ga0  19157  efgval  19580  psrplusg  21492  psrvscafval  21501  opsrle  21594  ply1plusgfvi  21756  txindislem  23129  txhaus  23143  0met  23864  2ndimaxp  31860  aciunf1  31876  hashxpe  32007  mbfmcst  33247  0rrv  33439  sate0  34395  mexval  34482  mdvval  34484  mpstval  34515  elima4  34736  finxp00  36272  isbnd3  36641  zrdivrng  36810  mofeu  47468