Theorem xp0 6157

Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5774	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 5874	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 6156	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 6140	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2768	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1541  ∅c0 4322   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684

This theorem is referenced by:  xpnz  6158  xpdisj2  6161  difxp1  6164  dmxpss  6170  rnxpid  6172  xpcan  6175  unixp  6281  dfpo2  6295  fconst5  7206  dfac5lem3  10119  djuassen  10172  xpdjuen  10173  alephadd  10571  fpwwe2lem12  10636  0ssc  17786  fuchom  17912  fuchomOLD  17913  frmdplusg  18734  mulgfval  18951  mulgfvalALT  18952  mulgfvi  18955  ga0  19161  efgval  19584  psrplusg  21499  psrvscafval  21508  opsrle  21601  ply1plusgfvi  21763  txindislem  23136  txhaus  23150  0met  23871  2ndimaxp  31867  aciunf1  31883  hashxpe  32014  mbfmcst  33253  0rrv  33445  sate0  34401  mexval  34488  mdvval  34490  mpstval  34521  elima4  34742  finxp00  36278  isbnd3  36647  zrdivrng  36816  mofeu  47504