Theorem xp0 6189

Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5798	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 5899	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 6188	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 6172	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2776	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1537  ∅c0 4352   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708

This theorem is referenced by:  xpnz  6190  xpdisj2  6193  difxp1  6196  dmxpss  6202  rnxpid  6204  xpcan  6207  unixp  6313  dfpo2  6327  fconst5  7243  dfac5lem3  10194  djuassen  10248  xpdjuen  10249  alephadd  10646  fpwwe2lem12  10711  0ssc  17901  fuchom  18030  fuchomOLD  18031  frmdplusg  18889  mulgfval  19109  mulgfvalALT  19110  mulgfvi  19113  ga0  19338  efgval  19759  psrplusg  21979  psrvscafval  21991  opsrle  22088  ply1plusgfvi  22264  txindislem  23662  txhaus  23676  0met  24397  2ndimaxp  32665  aciunf1  32681  hashxpe  32814  mbfmcst  34224  0rrv  34416  sate0  35383  mexval  35470  mdvval  35472  mpstval  35503  elima4  35739  finxp00  37368  isbnd3  37744  zrdivrng  37913  mofeu  48561