Theorem xp0 5769

Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5404	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 5500	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 5768	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 5753	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2829	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1653  ∅c0 4115   × cxp 5310  ^◡ccnv 5311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-br 4844  df-opab 4906  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320

This theorem is referenced by:  xpnz  5770  xpdisj2  5773  difxp1  5776  dmxpss  5782  rnxpid  5784  xpcan  5787  unixp  5887  fconst5  6700  dfac5lem3  9234  xpcdaen  9293  fpwwe2lem13  9752  comfffval  16672  0ssc  16811  fuchom  16935  xpccofval  17137  frmdplusg  17707  mulgfval  17858  mulgfvi  17861  ga0  18043  symgplusg  18121  efgval  18443  psrplusg  19704  psrvscafval  19713  opsrle  19798  ply1plusgfvi  19934  txindislem  21765  txhaus  21779  0met  22499  aciunf1  29982  mbfmcst  30837  0rrv  31030  mexval  31916  mdvval  31918  mpstval  31949  dfpo2  32159  elima4  32191  finxp00  33737  isbnd3  34070  zrdivrng  34239