MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xp0 6114
Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
xp0 (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0
StepHypRef Expression
1 0xp 5734 . . 3 (∅ × 𝐴) = ∅
21cnveqi 5834 . 2 (∅ × 𝐴) =
3 cnvxp 6113 . 2 (∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4 cnv0 6097 . 2 ∅ = ∅
52, 3, 43eqtr3i 2769 1 (𝐴 × ∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  c0 4286   × cxp 5635  ccnv 5636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645
This theorem is referenced by:  xpnz  6115  xpdisj2  6118  difxp1  6121  dmxpss  6127  rnxpid  6129  xpcan  6132  unixp  6238  dfpo2  6252  fconst5  7159  dfac5lem3  10069  djuassen  10122  xpdjuen  10123  alephadd  10521  fpwwe2lem12  10586  0ssc  17731  fuchom  17857  fuchomOLD  17858  frmdplusg  18672  mulgfval  18882  mulgfvalALT  18883  mulgfvi  18886  ga0  19086  efgval  19507  psrplusg  21372  psrvscafval  21381  opsrle  21471  ply1plusgfvi  21636  txindislem  23007  txhaus  23021  0met  23742  2ndimaxp  31616  aciunf1  31632  hashxpe  31765  mbfmcst  32923  0rrv  33115  sate0  34073  mexval  34160  mdvval  34162  mpstval  34193  elima4  34413  finxp00  35923  isbnd3  36293  zrdivrng  36462  mofeu  47004
  Copyright terms: Public domain W3C validator