Theorem xp0 6061

Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5685	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 5783	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 6060	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 6044	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2774	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1539  ∅c0 4256   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597

This theorem is referenced by:  xpnz  6062  xpdisj2  6065  difxp1  6068  dmxpss  6074  rnxpid  6076  xpcan  6079  unixp  6185  dfpo2  6199  fconst5  7081  dfac5lem3  9881  djuassen  9934  xpdjuen  9935  alephadd  10333  fpwwe2lem12  10398  0ssc  17552  fuchom  17678  fuchomOLD  17679  frmdplusg  18493  mulgfval  18702  mulgfvalALT  18703  mulgfvi  18706  ga0  18904  efgval  19323  psrplusg  21150  psrvscafval  21159  opsrle  21248  ply1plusgfvi  21413  txindislem  22784  txhaus  22798  0met  23519  2ndimaxp  30984  aciunf1  31000  hashxpe  31127  mbfmcst  32226  0rrv  32418  sate0  33377  mexval  33464  mdvval  33466  mpstval  33497  elima4  33750  finxp00  35573  isbnd3  35942  zrdivrng  36111  mofeu  46175