Theorem xp0 6178

Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5784	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 5885	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 6177	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 6160	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2773	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1540  ∅c0 4333   × cxp 5683  ^◡ccnv 5684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693

This theorem is referenced by:  xpnz  6179  xpdisj2  6182  difxp1  6185  dmxpss  6191  rnxpid  6193  xpcan  6196  unixp  6302  dfpo2  6316  fconst5  7226  dfac5lem3  10165  djuassen  10219  xpdjuen  10220  alephadd  10617  fpwwe2lem12  10682  0ssc  17882  fuchom  18009  frmdplusg  18867  mulgfval  19087  mulgfvalALT  19088  mulgfvi  19091  ga0  19316  efgval  19735  psrplusg  21956  psrvscafval  21968  opsrle  22065  ply1plusgfvi  22243  txindislem  23641  txhaus  23655  0met  24376  2ndimaxp  32656  aciunf1  32673  hashxpe  32811  mbfmcst  34261  0rrv  34453  sate0  35420  mexval  35507  mdvval  35509  mpstval  35540  elima4  35776  finxp00  37403  isbnd3  37791  zrdivrng  37960  mofeu  48757  fucofvalne  49020