Theorem xp0 6179

Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5786	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 5887	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 6178	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 6162	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2770	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1536  ∅c0 4338   × cxp 5686  ^◡ccnv 5687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696

This theorem is referenced by:  xpnz  6180  xpdisj2  6183  difxp1  6186  dmxpss  6192  rnxpid  6194  xpcan  6197  unixp  6303  dfpo2  6317  fconst5  7225  dfac5lem3  10162  djuassen  10216  xpdjuen  10217  alephadd  10614  fpwwe2lem12  10679  0ssc  17887  fuchom  18016  fuchomOLD  18017  frmdplusg  18879  mulgfval  19099  mulgfvalALT  19100  mulgfvi  19103  ga0  19328  efgval  19749  psrplusg  21973  psrvscafval  21985  opsrle  22082  ply1plusgfvi  22258  txindislem  23656  txhaus  23670  0met  24391  2ndimaxp  32662  aciunf1  32679  hashxpe  32816  mbfmcst  34240  0rrv  34432  sate0  35399  mexval  35486  mdvval  35488  mpstval  35519  elima4  35756  finxp00  37384  isbnd3  37770  zrdivrng  37939  mofeu  48677