Theorem dibn0 42319

Description: The value of the partial isomorphism B is not empty. (Contributed by NM, 18-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibn0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibn0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibn0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibn0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)

Proof of Theorem dibn0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibn0.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dibn0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7		dibn0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dibval2 42310	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
9	1, 2, 3, 6	dian0 42205	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ≠ ∅)
10		fvex 6903	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
11	10	mptex 7233	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ V
12	11	snnz 4733	. . . 4 ⊢ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ≠ ∅
13	9, 12	jctir 530	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ≠ ∅ ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ≠ ∅))
14		xpnz 6152	. . 3 ⊢ (((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ≠ ∅ ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ≠ ∅) ↔ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ≠ ∅)
15	13, 14	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ≠ ∅)
16	8, 15	eqnetrd 3022	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4277  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   I cid 5545   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  lecple 17444  HLchlt 40516  LHypclh 41150  LTrncltrn 41267  DIsoAcdia 42194  DIsoBcdib 42304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8856  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-lub 18527  df-glb 18528  df-join 18529  df-meet 18530  df-p0 18606  df-p1 18607  df-lat 18615  df-clat 18682  df-oposet 40342  df-ol 40344  df-oml 40345  df-covers 40432  df-ats 40433  df-atl 40464  df-cvlat 40488  df-hlat 40517  df-lhyp 41154  df-laut 41155  df-ldil 41270  df-ltrn 41271  df-trl 41325  df-disoa 42195  df-dib 42305

This theorem is used by:  dibord  42325  diblss  42336