Theorem dibn0 41413

Description: The value of the partial isomorphism B is not empty. (Contributed by NM, 18-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibn0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibn0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibn0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibn0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)

Proof of Theorem dibn0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibn0.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dibn0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7		dibn0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dibval2 41404	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
9	1, 2, 3, 6	dian0 41299	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ≠ ∅)
10		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
11	10	mptex 7169	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ V
12	11	snnz 4733	. . . 4 ⊢ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ≠ ∅
13	9, 12	jctir 520	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ≠ ∅ ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ≠ ∅))
14		xpnz 6117	. . 3 ⊢ (((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ≠ ∅ ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ≠ ∅) ↔ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ≠ ∅)
15	13, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ≠ ∅)
16	8, 15	eqnetrd 2999	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   I cid 5518   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  lecple 17184  HLchlt 39610  LHypclh 40244  LTrncltrn 40361  DIsoAcdia 41288  DIsoBcdib 41398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419  df-disoa 41289  df-dib 41399

This theorem is referenced by:  dibord  41419  diblss  41430