Theorem mamufacex 22374

Description: Every solution of the equation 𝐴∗𝑋 = 𝐵 for matrices 𝐴 and 𝐵 is a matrix. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamudm.e	⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
mamudm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
mamudm.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
mamudm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
mamudm.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamufacex.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑃))
mamufacex.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mamufacex	⊢ (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem mamufacex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2a1 28	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶)))
2		mamudm.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
3		mamudm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		mamudm.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
5		mamudm.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
6		mamudm.m	. . . . . . . 8 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
7	2, 3, 4, 5, 6	mamudm 22373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
8	7	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
9	8	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ¬ 𝑍 ∈ 𝐶)
11	10	intnand 488	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ¬ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶))
12		ndmovg 7544	. . . . 5 ⊢ ((dom × = (𝐵 × 𝐶) ∧ ¬ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋 × 𝑍) = ∅)
13	9, 11, 12	syl2an2 687	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → (𝑋 × 𝑍) = ∅)
14		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
15		xpfi 9224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
16	15	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
17		xpnz 6118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ↔ (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅)
18	17	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅)
19		mamufacex.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑃))
20		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21		mamufacex.d	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
22	19, 20, 21	elfrlmbasn0 21756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 × 𝑃) ∈ Fin ∧ (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ≠ ∅))
23	16, 18, 22	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ≠ ∅))
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ≠ ∅)))
25	24	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐷 → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → 𝑌 ≠ ∅)))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → 𝑌 ≠ ∅)))
27	26	3imp21 1114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑌 ≠ ∅)
28		eqneqall 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑍 ∈ 𝐶))
29	27, 28	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (𝑌 = ∅ → 𝑍 ∈ 𝐶))
30	29	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → (𝑌 = ∅ → 𝑍 ∈ 𝐶))
31	30	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍 ∈ 𝐶))
32	31	eqcoms 2745	. . . . . 6 ⊢ (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍 ∈ 𝐶))
33	14, 32	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍 ∈ 𝐶)))
34	33	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶)))
35	13, 34	mpcom 38	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶))
36	35	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ 𝐶 → (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶)))
37	1, 36	pm2.61i 182	1 ⊢ (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  ⟨cotp 4576   × cxp 5623  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  Basecbs 17173   freeLMod cfrlm 21739   maMul cmmul 22368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-prds 17404  df-pws 17406  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21725  df-frlm 21740  df-mamu 22369

This theorem is referenced by: (None)