MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamufacex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamufacex 20994
Description: Every solution of the equation 𝐴𝑋 = 𝐵 for matrices 𝐴 and 𝐵 is a matrix. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mamudm.e 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
mamudm.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
mamudm.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
mamudm.c 𝐶 = (Base‘𝐹)
mamudm.m × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamufacex.g 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑃))
mamufacex.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
mamufacex (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶))

Proof of Theorem mamufacex
StepHypRef Expression
1 2a1 28 . 2 (𝑍𝐶 → (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶)))
2 mamudm.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
3 mamudm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐸)
4 mamudm.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
5 mamudm.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝐹)
6 mamudm.m . . . . . . . 8 × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
72, 3, 4, 5, 6mamudm 20993 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
87adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
983adant1 1127 . . . . 5 (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
10 simpl 486 . . . . . 6 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ¬ 𝑍𝐶)
1110intnand 492 . . . . 5 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ¬ (𝑋𝐵𝑍𝐶))
12 ndmovg 7316 . . . . 5 ((dom × = (𝐵 × 𝐶) ∧ ¬ (𝑋𝐵𝑍𝐶)) → (𝑋 × 𝑍) = ∅)
139, 11, 12syl2an2 685 . . . 4 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → (𝑋 × 𝑍) = ∅)
14 eqeq1 2826 . . . . . 6 ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
15 xpfi 8777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
16153adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
17 xpnz 5994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ↔ (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅)
1817biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅)
19 mamufacex.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑃))
20 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21 mamufacex.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (Base‘𝐺)
2219, 20, 21elfrlmbasn0 20450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 × 𝑃) ∈ Fin ∧ (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅) → (𝑌𝐷𝑌 ≠ ∅))
2316, 18, 22syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (𝑌𝐷𝑌 ≠ ∅))
2423ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (𝑌𝐷𝑌 ≠ ∅)))
2524com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝐷 → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → 𝑌 ≠ ∅)))
2625adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑌𝐷) → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → 𝑌 ≠ ∅)))
27263imp21 1111 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑌 ≠ ∅)
28 eqneqall 3022 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑍𝐶))
2927, 28syl5com 31 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (𝑌 = ∅ → 𝑍𝐶))
3029adantl 485 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → (𝑌 = ∅ → 𝑍𝐶))
3130com12 32 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍𝐶))
3231eqcoms 2830 . . . . . 6 (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍𝐶))
3314, 32syl6bi 256 . . . . 5 ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍𝐶)))
3433com23 86 . . . 4 ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶)))
3513, 34mpcom 38 . . 3 ((¬ 𝑍𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶))
3635ex 416 . 2 𝑍𝐶 → (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶)))
371, 36pm2.61i 185 1 (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅𝑉𝑌𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌𝑍𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  c0 4265  cotp 4547   × cxp 5530  dom cdm 5532  cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  Basecbs 16474   freeLMod cfrlm 20433   maMul cmmul 20988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-prds 16712  df-pws 16714  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-mamu 20989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator