Theorem mamufacex 22416

Description: Every solution of the equation 𝐴∗𝑋 = 𝐵 for matrices 𝐴 and 𝐵 is a matrix. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamudm.e	⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
mamudm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
mamudm.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
mamudm.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
mamudm.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamufacex.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑃))
mamufacex.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mamufacex	⊢ (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem mamufacex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2a1 28	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶)))
2		mamudm.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑁))
3		mamudm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		mamudm.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑃))
5		mamudm.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐹)
6		mamudm.m	. . . . . . . 8 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
7	2, 3, 4, 5, 6	mamudm 22415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
8	7	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
9	8	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → dom × = (𝐵 × 𝐶))
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ¬ 𝑍 ∈ 𝐶)
11	10	intnand 488	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ¬ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶))
12		ndmovg 7616	. . . . 5 ⊢ ((dom × = (𝐵 × 𝐶) ∧ ¬ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋 × 𝑍) = ∅)
13	9, 11, 12	syl2an2 686	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → (𝑋 × 𝑍) = ∅)
14		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 ↔ ∅ = 𝑌))
15		xpfi 9356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
16	15	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑃) ∈ Fin)
17		xpnz 6181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ↔ (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅)
18	17	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅)
19		mamufacex.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑀 × 𝑃))
20		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21		mamufacex.d	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
22	19, 20, 21	elfrlmbasn0 21801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 × 𝑃) ∈ Fin ∧ (𝑀 × 𝑃) ≠ ∅) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ≠ ∅))
23	16, 18, 22	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ≠ ∅))
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ≠ ∅)))
25	24	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐷 → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → 𝑌 ≠ ∅)))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin) → 𝑌 ≠ ∅)))
27	26	3imp21 1113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → 𝑌 ≠ ∅)
28		eqneqall 2949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = ∅ → (𝑌 ≠ ∅ → 𝑍 ∈ 𝐶))
29	27, 28	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → (𝑌 = ∅ → 𝑍 ∈ 𝐶))
30	29	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → (𝑌 = ∅ → 𝑍 ∈ 𝐶))
31	30	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = ∅ → ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍 ∈ 𝐶))
32	31	eqcoms 2743	. . . . . 6 ⊢ (∅ = 𝑌 → ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍 ∈ 𝐶))
33	14, 32	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → 𝑍 ∈ 𝐶)))
34	33	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑋 × 𝑍) = ∅ → ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶)))
35	13, 34	mpcom 38	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑍 ∈ 𝐶 ∧ ((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin))) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶))
36	35	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ 𝐶 → (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶)))
37	1, 36	pm2.61i 182	1 ⊢ (((𝑀 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ≠ ∅) ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Fin)) → ((𝑋 × 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  ⟨cotp 4639   × cxp 5687  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245   freeLMod cfrlm 21784   maMul cmmul 22410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411

This theorem is referenced by: (None)