Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdc4lem 9869
 Description: Lemma for axdc4 9870. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4lem.1 𝐴 ∈ V
axdc4lem.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)))
Assertion
Ref Expression
axdc4lem ((𝐶𝐴𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝐶,𝑔,𝑘   𝑔,𝐹,𝑛,𝑥   𝑘,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑔,𝑛)

Proof of Theorem axdc4lem
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑠 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 7584 . . . 4 ∅ ∈ ω
2 opelxpi 5557 . . . 4 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐶𝐴) → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (ω × 𝐴))
31, 2mpan 689 . . 3 (𝐶𝐴 → ⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (ω × 𝐴))
4 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ω)
5 fovrn 7300 . . . . . . . 8 ((𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → (𝑛𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
6 peano2 7585 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
76snssd 4702 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ω → {suc 𝑛} ⊆ ω)
8 eldifi 4054 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → (𝑛𝐹𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
9 axdc4lem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ V
109elpw2 5213 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝐹𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑛𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
11 xpss12 5535 . . . . . . . . . . 11 (({suc 𝑛} ⊆ ω ∧ (𝑛𝐹𝑥) ⊆ 𝐴) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ⊆ (ω × 𝐴))
1210, 11sylan2b 596 . . . . . . . . . 10 (({suc 𝑛} ⊆ ω ∧ (𝑛𝐹𝑥) ∈ 𝒫 𝐴) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ⊆ (ω × 𝐴))
137, 8, 12syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝑛𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ⊆ (ω × 𝐴))
14 snex 5298 . . . . . . . . . . 11 {suc 𝑛} ∈ V
15 ovex 7169 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝐹𝑥) ∈ V
1614, 15xpex 7459 . . . . . . . . . 10 ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ V
1716elpw 4501 . . . . . . . . 9 (({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ 𝒫 (ω × 𝐴) ↔ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ⊆ (ω × 𝐴))
1813, 17sylibr 237 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝑛𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ 𝒫 (ω × 𝐴))
194, 5, 18syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ 𝒫 (ω × 𝐴))
20 eldifn 4055 . . . . . . . 8 ((𝑛𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ¬ (𝑛𝐹𝑥) ∈ {∅})
2115elsn 4540 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝐹𝑥) ∈ {∅} ↔ (𝑛𝐹𝑥) = ∅)
2221necon3bbii 3034 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑛𝐹𝑥) ∈ {∅} ↔ (𝑛𝐹𝑥) ≠ ∅)
23 vex 3444 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ V
2423sucex 7509 . . . . . . . . . . . 12 suc 𝑛 ∈ V
2524snnz 4672 . . . . . . . . . . 11 {suc 𝑛} ≠ ∅
26 xpnz 5984 . . . . . . . . . . . 12 (({suc 𝑛} ≠ ∅ ∧ (𝑛𝐹𝑥) ≠ ∅) ↔ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ≠ ∅)
2726biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 (({suc 𝑛} ≠ ∅ ∧ (𝑛𝐹𝑥) ≠ ∅) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ≠ ∅)
2825, 27mpan 689 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝐹𝑥) ≠ ∅ → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ≠ ∅)
2922, 28sylbi 220 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑛𝐹𝑥) ∈ {∅} → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ≠ ∅)
3016elsn 4540 . . . . . . . . . 10 (({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ {∅} ↔ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) = ∅)
3130necon3bbii 3034 . . . . . . . . 9 (¬ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ {∅} ↔ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ≠ ∅)
3229, 31sylibr 237 . . . . . . . 8 (¬ (𝑛𝐹𝑥) ∈ {∅} → ¬ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ {∅})
335, 20, 323syl 18 . . . . . . 7 ((𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ¬ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ {∅})
3419, 33eldifd 3892 . . . . . 6 ((𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ (𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅}))
35343expib 1119 . . . . 5 (𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ (𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅})))
3635ralrimivv 3155 . . . 4 (𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∀𝑛 ∈ ω ∀𝑥𝐴 ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ (𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅}))
37 axdc4lem.2 . . . . 5 𝐺 = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)))
3837fmpo 7751 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ω ∀𝑥𝐴 ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) ∈ (𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅}) ↔ 𝐺:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅}))
3936, 38sylib 221 . . 3 (𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝐺:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅}))
40 dcomex 9861 . . . . 5 ω ∈ V
4140, 9xpex 7459 . . . 4 (ω × 𝐴) ∈ V
4241axdc3 9868 . . 3 ((⟨∅, 𝐶⟩ ∈ (ω × 𝐴) ∧ 𝐺:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 (ω × 𝐴) ∖ {∅})) → ∃(:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))))
433, 39, 42syl2an 598 . 2 ((𝐶𝐴𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃(:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))))
44 2ndcof 7705 . . . . . . . . 9 (:ω⟶(ω × 𝐴) → (2nd):ω⟶𝐴)
45443ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → (2nd):ω⟶𝐴)
4645adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (2nd):ω⟶𝐴)
47 fex2 7623 . . . . . . . 8 (((2nd):ω⟶𝐴 ∧ ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (2nd) ∈ V)
4840, 9, 47mp3an23 1450 . . . . . . 7 ((2nd):ω⟶𝐴 → (2nd) ∈ V)
4946, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (2nd) ∈ V)
50 fvco3 6738 . . . . . . . . . . 11 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ ∅ ∈ ω) → ((2nd)‘∅) = (2nd ‘(‘∅)))
511, 50mpan2 690 . . . . . . . . . 10 (:ω⟶(ω × 𝐴) → ((2nd)‘∅) = (2nd ‘(‘∅)))
52513ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ((2nd)‘∅) = (2nd ‘(‘∅)))
53 fveq2 6646 . . . . . . . . . 10 ((‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ → (2nd ‘(‘∅)) = (2nd ‘⟨∅, 𝐶⟩))
54533ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → (2nd ‘(‘∅)) = (2nd ‘⟨∅, 𝐶⟩))
5552, 54eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ((2nd)‘∅) = (2nd ‘⟨∅, 𝐶⟩))
56 op2ndg 7687 . . . . . . . . 9 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐶𝐴) → (2nd ‘⟨∅, 𝐶⟩) = 𝐶)
571, 56mpan 689 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (2nd ‘⟨∅, 𝐶⟩) = 𝐶)
5855, 57sylan9eqr 2855 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ((2nd)‘∅) = 𝐶)
59 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑘 𝐶𝐴
60 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑘 :ω⟶(ω × 𝐴)
61 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑘(‘∅) = ⟨∅, 𝐶
62 nfra1 3183 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))
6360, 61, 62nf3an 1902 . . . . . . . . 9 𝑘(:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))
6459, 63nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑘(𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))))
65 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = ∅ → (𝑚) = (‘∅))
66 opeq1 4764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = ∅ → ⟨𝑚, 𝑧⟩ = ⟨∅, 𝑧⟩)
6765, 66eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = ∅ → ((𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ (‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩))
6867exbidv 1922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = ∅ → (∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ ∃𝑧(‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩))
69 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑖 → (𝑚) = (𝑖))
70 opeq1 4764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑖 → ⟨𝑚, 𝑧⟩ = ⟨𝑖, 𝑧⟩)
7169, 70eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑖 → ((𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩))
7271exbidv 1922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑖 → (∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ ∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩))
73 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = suc 𝑖 → (𝑚) = (‘suc 𝑖))
74 opeq1 4764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = suc 𝑖 → ⟨𝑚, 𝑧⟩ = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)
7573, 74eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = suc 𝑖 → ((𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ (‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩))
7675exbidv 1922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = suc 𝑖 → (∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩))
77 opeq2 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝐶 → ⟨∅, 𝑧⟩ = ⟨∅, 𝐶⟩)
7877eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝐶 → ((‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩ ↔ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩))
7978spcegv 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶𝐴 → ((‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ → ∃𝑧(‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩))
8079imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝐴 ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩) → ∃𝑧(‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩)
81803ad2antr2 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ∃𝑧(‘∅) = ⟨∅, 𝑧⟩)
82 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → (𝐺‘(𝑖)) = (𝐺‘⟨𝑖, 𝑧⟩))
83 df-ov 7139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖𝐺𝑧) = (𝐺‘⟨𝑖, 𝑧⟩)
8482, 83eqtr4di 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → (𝐺‘(𝑖)) = (𝑖𝐺𝑧))
8584adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → (𝐺‘(𝑖)) = (𝑖𝐺𝑧))
86 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → 𝑖 ∈ ω)
87 ffvelrn 6827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (𝑖) ∈ (ω × 𝐴))
88 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ((𝑖) ∈ (ω × 𝐴) ↔ ⟨𝑖, 𝑧⟩ ∈ (ω × 𝐴)))
89 opelxp2 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⟨𝑖, 𝑧⟩ ∈ (ω × 𝐴) → 𝑧𝐴)
9088, 89syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ((𝑖) ∈ (ω × 𝐴) → 𝑧𝐴))
9187, 90mpan9 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → 𝑧𝐴)
92 suceq 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 = 𝑖 → suc 𝑛 = suc 𝑖)
9392sneqd 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑖 → {suc 𝑛} = {suc 𝑖})
94 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝐹𝑥) = (𝑖𝐹𝑥))
9593, 94xpeq12d 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = 𝑖 → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑥)))
96 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 𝑧 → (𝑖𝐹𝑥) = (𝑖𝐹𝑧))
9796xpeq2d 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 𝑧 → ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑥)) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)))
98 snex 5298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 {suc 𝑖} ∈ V
99 ovex 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖𝐹𝑧) ∈ V
10098, 99xpex 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)) ∈ V
10195, 97, 37, 100ovmpo 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑧𝐴) → (𝑖𝐺𝑧) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)))
10286, 91, 101syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → (𝑖𝐺𝑧) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)))
10385, 102eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → (𝐺‘(𝑖)) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)))
104 suceq 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 𝑖 → suc 𝑘 = suc 𝑖)
105104fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑖 → (‘suc 𝑘) = (‘suc 𝑖))
106 2fveq3 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 𝑖 → (𝐺‘(𝑘)) = (𝐺‘(𝑖)))
107105, 106eleq12d 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = 𝑖 → ((‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) ↔ (‘suc 𝑖) ∈ (𝐺‘(𝑖))))
108107rspcv 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → (‘suc 𝑖) ∈ (𝐺‘(𝑖))))
109108ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → (‘suc 𝑖) ∈ (𝐺‘(𝑖))))
110 eleq2 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺‘(𝑖)) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)) → ((‘suc 𝑖) ∈ (𝐺‘(𝑖)) ↔ (‘suc 𝑖) ∈ ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧))))
111 elxp 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((‘suc 𝑖) ∈ ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)) ↔ ∃𝑠𝑡((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑖} ∧ 𝑡 ∈ (𝑖𝐹𝑧))))
112 velsn 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑠 ∈ {suc 𝑖} ↔ 𝑠 = suc 𝑖)
113 opeq1 4764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑠 = suc 𝑖 → ⟨𝑠, 𝑡⟩ = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
114112, 113sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑠 ∈ {suc 𝑖} → ⟨𝑠, 𝑡⟩ = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
115114eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑠 ∈ {suc 𝑖} → ((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ↔ (‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩))
116115biimpac 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ 𝑠 ∈ {suc 𝑖}) → (‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
117116adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑖} ∧ 𝑡 ∈ (𝑖𝐹𝑧))) → (‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
118117eximi 1836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∃𝑡((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑖} ∧ 𝑡 ∈ (𝑖𝐹𝑧))) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
119118exlimiv 1931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∃𝑠𝑡((‘suc 𝑖) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑖} ∧ 𝑡 ∈ (𝑖𝐹𝑧))) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
120111, 119sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((‘suc 𝑖) ∈ ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)
121110, 120syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺‘(𝑖)) = ({suc 𝑖} × (𝑖𝐹𝑧)) → ((‘suc 𝑖) ∈ (𝐺‘(𝑖)) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩))
122103, 109, 121sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ (𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩))
123122expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)))
124123exlimiv 1931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)))
125124com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩)))
126 opeq2 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 = 𝑧 → ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩ = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)
127126eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = 𝑧 → ((‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩ ↔ (‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩))
128127cbvexvw 2044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑡(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑡⟩ ↔ ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)
129125, 128syl8ib 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)))
130129impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → (𝑖 ∈ ω → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)))
1311303adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → (𝑖 ∈ ω → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)))
132131adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (𝑖 ∈ ω → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)))
133132com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ω → ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (∃𝑧(𝑖) = ⟨𝑖, 𝑧⟩ → ∃𝑧(‘suc 𝑖) = ⟨suc 𝑖, 𝑧⟩)))
13468, 72, 76, 81, 133finds2 7594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ω → ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩))
135134com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (𝑚 ∈ ω → ∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩))
136135ralrimiv 3148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ∀𝑚 ∈ ω ∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩)
137 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚) = (𝑘))
138 opeq1 4764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑘 → ⟨𝑚, 𝑧⟩ = ⟨𝑘, 𝑧⟩)
139137, 138eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩))
140139exbidv 1922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → (∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ ↔ ∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩))
141140rspccv 3568 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑚 ∈ ω ∃𝑧(𝑚) = ⟨𝑚, 𝑧⟩ → (𝑘 ∈ ω → ∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩))
142136, 141syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (𝑘 ∈ ω → ∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩))
1431423impia 1114 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩)
144 simp21 1203 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → :ω⟶(ω × 𝐴))
145 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → 𝑘 ∈ ω)
146 rspa 3171 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))
1471463ad2antl3 1184 . . . . . . . . . . 11 (((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))
1481473adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))
149 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩)
150149fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝐺‘(𝑘)) = (𝐺‘⟨𝑘, 𝑧⟩))
151 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → 𝑘 ∈ ω)
152 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((𝑘) ∈ (ω × 𝐴) ↔ ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∈ (ω × 𝐴)))
153 opelxp2 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑘, 𝑧⟩ ∈ (ω × 𝐴) → 𝑧𝐴)
154152, 153syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((𝑘) ∈ (ω × 𝐴) → 𝑧𝐴))
155 ffvelrn 6827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑘) ∈ (ω × 𝐴))
156154, 155impel 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → 𝑧𝐴)
157 df-ov 7139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝐺𝑧) = (𝐺‘⟨𝑘, 𝑧⟩)
158 suceq 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → suc 𝑛 = suc 𝑘)
159158sneqd 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → {suc 𝑛} = {suc 𝑘})
160 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐹𝑥) = (𝑘𝐹𝑥))
161159, 160xpeq12d 5551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑥)))
162 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝑘𝐹𝑥) = (𝑘𝐹𝑧))
163162xpeq2d 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑥)) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)))
164 snex 5298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {suc 𝑘} ∈ V
165 ovex 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝐹𝑧) ∈ V
166164, 165xpex 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)) ∈ V
167161, 163, 37, 166ovmpo 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑧𝐴) → (𝑘𝐺𝑧) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)))
168157, 167syl5eqr 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺‘⟨𝑘, 𝑧⟩) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)))
169151, 156, 168syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝐺‘⟨𝑘, 𝑧⟩) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)))
170150, 169eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝐺‘(𝑘)) = ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)))
171170eleq2d 2875 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) ↔ (‘suc 𝑘) ∈ ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧))))
172 elxp 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((‘suc 𝑘) ∈ ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)) ↔ ∃𝑠𝑡((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑘} ∧ 𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧))))
173 peano2 7585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
174 fvco3 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ suc 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) = (2nd ‘(‘suc 𝑘)))
175173, 174sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) = (2nd ‘(‘suc 𝑘)))
176175adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘suc 𝑘) = (2nd ‘(‘suc 𝑘)))
177 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩)
178177fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (2nd ‘(‘suc 𝑘)) = (2nd ‘⟨𝑠, 𝑡⟩))
179176, 178eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘suc 𝑘) = (2nd ‘⟨𝑠, 𝑡⟩))
180 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑠 ∈ V
181 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑡 ∈ V
182180, 181op2nd 7683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2nd ‘⟨𝑠, 𝑡⟩) = 𝑡
183179, 182eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘suc 𝑘) = 𝑡)
184 fvco3 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘𝑘) = (2nd ‘(𝑘)))
185184adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘𝑘) = (2nd ‘(𝑘)))
186 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩)
187186fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (2nd ‘(𝑘)) = (2nd ‘⟨𝑘, 𝑧⟩))
188185, 187eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘𝑘) = (2nd ‘⟨𝑘, 𝑧⟩))
189 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑘 ∈ V
190 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑧 ∈ V
191189, 190op2nd 7683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2nd ‘⟨𝑘, 𝑧⟩) = 𝑧
192188, 191eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘𝑘) = 𝑧)
193192oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)) = (𝑘𝐹𝑧))
194183, 193eleq12d 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → (((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)) ↔ 𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧)))
195194biimprcd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧) → ((((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩) ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
196195exp4c 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧) → ((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ → ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))))
197196adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ {suc 𝑘} ∧ 𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧)) → ((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ → ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))))
198197impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑘} ∧ 𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧))) → ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
199198exlimivv 1933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑠𝑡((‘suc 𝑘) = ⟨𝑠, 𝑡⟩ ∧ (𝑠 ∈ {suc 𝑘} ∧ 𝑡 ∈ (𝑘𝐹𝑧))) → ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
200172, 199sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((‘suc 𝑘) ∈ ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)) → ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
201200com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((‘suc 𝑘) ∈ ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
202201imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((‘suc 𝑘) ∈ ({suc 𝑘} × (𝑘𝐹𝑧)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
203171, 202sylbid 243 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω)) → ((‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
204203ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
205204exlimiv 1931 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
2062053imp 1108 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑧(𝑘) = ⟨𝑘, 𝑧⟩ ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))
207143, 144, 145, 148, 206syl121anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))
2082073expia 1118 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → (𝑘 ∈ ω → ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
20964, 208ralrimi 3180 . . . . . . 7 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ ω ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))
21046, 58, 2093jca 1125 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ((2nd):ω⟶𝐴 ∧ ((2nd)‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
211 feq1 6469 . . . . . . 7 (𝑔 = (2nd) → (𝑔:ω⟶𝐴 ↔ (2nd):ω⟶𝐴))
212 fveq1 6645 . . . . . . . 8 (𝑔 = (2nd) → (𝑔‘∅) = ((2nd)‘∅))
213212eqeq1d 2800 . . . . . . 7 (𝑔 = (2nd) → ((𝑔‘∅) = 𝐶 ↔ ((2nd)‘∅) = 𝐶))
214 fveq1 6645 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (2nd) → (𝑔‘suc 𝑘) = ((2nd)‘suc 𝑘))
215 fveq1 6645 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (2nd) → (𝑔𝑘) = ((2nd)‘𝑘))
216215oveq2d 7152 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (2nd) → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))
217214, 216eleq12d 2884 . . . . . . . 8 (𝑔 = (2nd) → ((𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
218217ralbidv 3162 . . . . . . 7 (𝑔 = (2nd) → (∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ω ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘))))
219211, 213, 2183anbi123d 1433 . . . . . 6 (𝑔 = (2nd) → ((𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))) ↔ ((2nd):ω⟶𝐴 ∧ ((2nd)‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω ((2nd)‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹((2nd)‘𝑘)))))
22049, 210, 219spcedv 3547 . . . . 5 ((𝐶𝐴 ∧ (:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘)))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
221220ex 416 . . . 4 (𝐶𝐴 → ((:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))))
222221exlimdv 1934 . . 3 (𝐶𝐴 → (∃(:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))))
223222adantr 484 . 2 ((𝐶𝐴𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (∃(:ω⟶(ω × 𝐴) ∧ (‘∅) = ⟨∅, 𝐶⟩ ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)))))
22443, 223mpd 15 1 ((𝐶𝐴𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  ⟨cop 4531   × cxp 5518   ∘ ccom 5524  suc csuc 6162  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∈ cmpo 7138  ωcom 7563  2nd c2nd 7673 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-dc 9860 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-1o 8088 This theorem is referenced by:  axdc4  9870
 Copyright terms: Public domain W3C validator