Theorem txindis 23980

Description: The topological product of indiscrete spaces is indiscrete. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txindis	⊢ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (𝐴 × 𝐵)}

Proof of Theorem txindis

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neq0 4302	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥)
2		indistop 23347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
3		indistop 23347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅, 𝐵} ∈ Top
4		eltx 23914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ {∅, 𝐵} ∈ Top) → (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥))
6		rsp 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
7	5, 6	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
8		elssuni 4902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ⊆ ∪ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}))
9		indisuni 23348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( I ‘𝐴) = ∪ {∅, 𝐴}
10		indisuni 23348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( I ‘𝐵) = ∪ {∅, 𝐵}
11	2, 3, 9, 10	txunii 23939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ∪ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵})
12	8, 11	sseqtrrdi 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ⊆ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
14		ne0i 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) → (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
15	14	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
16		xpnz 6161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ≠ ∅) ↔ (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ≠ ∅))
18	17	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ≠ ∅)
19	18	neneqd 2964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → ¬ 𝑧 = ∅)
20		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ∈ {∅, 𝐴})
21		indislem 23345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, 𝐴}
22	20, 21	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ∈ {∅, ( I ‘𝐴)})
23		elpri 4608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {∅, ( I ‘𝐴)} → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
25	24	ord 878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (¬ 𝑧 = ∅ → 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
26	19, 25	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 = ( I ‘𝐴))
27	17	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ≠ ∅)
28	27	neneqd 2964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → ¬ 𝑤 = ∅)
29		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})
30		indislem 23345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {∅, ( I ‘𝐵)} = {∅, 𝐵}
31	29, 30	eleqtrrdi 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ∈ {∅, ( I ‘𝐵)})
32		elpri 4608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ {∅, ( I ‘𝐵)} → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
34	33	ord 878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (¬ 𝑤 = ∅ → 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
35	28, 34	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 = ( I ‘𝐵))
36	26, 35	xpeq12d 5686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
37		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)
38	36, 37	eqsstrrd 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) ⊆ 𝑥)
39	38	adantll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) ⊆ 𝑥)
40	13, 39	eqssd 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
41	40	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) → ((𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
42	41	rexlimdvva 3223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
43	7, 42	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
44	43	exlimdv 1968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
45	1, 44	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (¬ 𝑥 = ∅ → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
46	45	orrd 877	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
47		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
48	47	elpr 4609	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
49	46, 48	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ∈ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))})
50	49	ssriv 3917	. . 3 ⊢ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))}
51	9	toptopon 23262	. . . . . . 7 ⊢ ({∅, 𝐴} ∈ Top ↔ {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)))
52	2, 51	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴))
53	10	toptopon 23262	. . . . . . 7 ⊢ ({∅, 𝐵} ∈ Top ↔ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵)))
54	3, 53	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵))
55		txtopon 23937	. . . . . 6 ⊢ (({∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)) ∧ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵))) → ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
56	52, 54, 55	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
57		topgele 23275	. . . . 5 ⊢ (({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))) → ({∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ 𝒫 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ 𝒫 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
59	58	simpli 489	. . 3 ⊢ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵})
60	50, 59	eqssi 3929	. 2 ⊢ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))}
61		txindislem 23979	. . 3 ⊢ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))
62	61	preq2i 4698	. 2 ⊢ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} = {∅, ( I ‘(𝐴 × 𝐵))}
63		indislem 23345	. 2 ⊢ {∅, ( I ‘(𝐴 × 𝐵))} = {∅, (𝐴 × 𝐵)}
64	60, 62, 63	3eqtri 2790	1 ⊢ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (𝐴 × 𝐵)}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {cpr 4590  ∪ cuni 4870   I cid 5549   × cxp 5653  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Topctop 23238  TopOnctopon 23255   ×_t ctx 23906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-topgen 17640  df-top 23239  df-topon 23256  df-bases 23291  df-tx 23908

This theorem is used by: (None)