Theorem txindis 22985

Description: The topological product of indiscrete spaces is indiscrete. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txindis	⊢ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (𝐴 × 𝐵)}

Proof of Theorem txindis

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neq0 4305	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥)
2		indistop 22352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
3		indistop 22352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅, 𝐵} ∈ Top
4		eltx 22919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ {∅, 𝐵} ∈ Top) → (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥))
6		rsp 3230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
7	5, 6	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
8		elssuni 4898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ⊆ ∪ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}))
9		indisuni 22353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( I ‘𝐴) = ∪ {∅, 𝐴}
10		indisuni 22353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( I ‘𝐵) = ∪ {∅, 𝐵}
11	2, 3, 9, 10	txunii 22944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ∪ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵})
12	8, 11	sseqtrrdi 3995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ⊆ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
14		ne0i 4294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) → (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
15	14	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
16		xpnz 6111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ≠ ∅) ↔ (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
17	15, 16	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ≠ ∅))
18	17	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ≠ ∅)
19	18	neneqd 2948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → ¬ 𝑧 = ∅)
20		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ∈ {∅, 𝐴})
21		indislem 22350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, 𝐴}
22	20, 21	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ∈ {∅, ( I ‘𝐴)})
23		elpri 4608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {∅, ( I ‘𝐴)} → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
25	24	ord 862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (¬ 𝑧 = ∅ → 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
26	19, 25	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 = ( I ‘𝐴))
27	17	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ≠ ∅)
28	27	neneqd 2948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → ¬ 𝑤 = ∅)
29		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})
30		indislem 22350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {∅, ( I ‘𝐵)} = {∅, 𝐵}
31	29, 30	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ∈ {∅, ( I ‘𝐵)})
32		elpri 4608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ {∅, ( I ‘𝐵)} → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
34	33	ord 862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (¬ 𝑤 = ∅ → 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
35	28, 34	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 = ( I ‘𝐵))
36	26, 35	xpeq12d 5664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
37		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)
38	36, 37	eqsstrrd 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) ⊆ 𝑥)
39	38	adantll 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) ⊆ 𝑥)
40	13, 39	eqssd 3961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
41	40	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) → ((𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
42	41	rexlimdvva 3205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
43	7, 42	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
44	43	exlimdv 1936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
45	1, 44	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (¬ 𝑥 = ∅ → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
46	45	orrd 861	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
47		vex 3449	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
48	47	elpr 4609	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
49	46, 48	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ∈ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))})
50	49	ssriv 3948	. . 3 ⊢ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))}
51	9	toptopon 22266	. . . . . . 7 ⊢ ({∅, 𝐴} ∈ Top ↔ {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)))
52	2, 51	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴))
53	10	toptopon 22266	. . . . . . 7 ⊢ ({∅, 𝐵} ∈ Top ↔ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵)))
54	3, 53	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵))
55		txtopon 22942	. . . . . 6 ⊢ (({∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)) ∧ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵))) → ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
56	52, 54, 55	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
57		topgele 22279	. . . . 5 ⊢ (({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))) → ({∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ 𝒫 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ 𝒫 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
59	58	simpli 484	. . 3 ⊢ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵})
60	50, 59	eqssi 3960	. 2 ⊢ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))}
61		txindislem 22984	. . 3 ⊢ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))
62	61	preq2i 4698	. 2 ⊢ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} = {∅, ( I ‘(𝐴 × 𝐵))}
63		indislem 22350	. 2 ⊢ {∅, ( I ‘(𝐴 × 𝐵))} = {∅, (𝐴 × 𝐵)}
64	60, 62, 63	3eqtri 2768	1 ⊢ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (𝐴 × 𝐵)}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {cpr 4588  ∪ cuni 4865   I cid 5530   × cxp 5631  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   ×_t ctx 22911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-topgen 17325  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-tx 22913

This theorem is referenced by: (None)