MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txindis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txindis 22385
Description: The topological product of indiscrete spaces is indiscrete. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
txindis ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (𝐴 × 𝐵)}

Proof of Theorem txindis
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 4234 . . . . . . 7 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑥)
2 indistop 21753 . . . . . . . . . . 11 {∅, 𝐴} ∈ Top
3 indistop 21753 . . . . . . . . . . 11 {∅, 𝐵} ∈ Top
4 eltx 22319 . . . . . . . . . . 11 (({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ {∅, 𝐵} ∈ Top) → (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
52, 3, 4mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥))
6 rsp 3118 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑥𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → (𝑦𝑥 → ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
75, 6sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑦𝑥 → ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
8 elssuni 4828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}))
9 indisuni 21754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I ‘𝐴) = {∅, 𝐴}
10 indisuni 21754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I ‘𝐵) = {∅, 𝐵}
112, 3, 9, 10txunii 22344 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵})
128, 11sseqtrrdi 3928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ⊆ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
1312ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
14 ne0i 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) → (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
1514ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
16 xpnz 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ≠ ∅) ↔ (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
1715, 16sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ≠ ∅))
1817simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ≠ ∅)
1918neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → ¬ 𝑧 = ∅)
20 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ∈ {∅, 𝐴})
21 indislem 21751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, 𝐴}
2220, 21eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ∈ {∅, ( I ‘𝐴)})
23 elpri 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {∅, ( I ‘𝐴)} → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
2524ord 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (¬ 𝑧 = ∅ → 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
2619, 25mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 = ( I ‘𝐴))
2717simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ≠ ∅)
2827neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → ¬ 𝑤 = ∅)
29 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})
30 indislem 21751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {∅, ( I ‘𝐵)} = {∅, 𝐵}
3129, 30eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ∈ {∅, ( I ‘𝐵)})
32 elpri 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ {∅, ( I ‘𝐵)} → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
3433ord 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (¬ 𝑤 = ∅ → 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
3528, 34mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 = ( I ‘𝐵))
3626, 35xpeq12d 5556 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
37 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)
3836, 37eqsstrrd 3916 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) ⊆ 𝑥)
3938adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) ⊆ 𝑥)
4013, 39eqssd 3894 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
4140ex 416 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) → ((𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
4241rexlimdvva 3204 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
437, 42syld 47 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑦𝑥𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
4443exlimdv 1940 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (∃𝑦 𝑦𝑥𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
451, 44syl5bi 245 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (¬ 𝑥 = ∅ → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
4645orrd 862 . . . . 5 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
47 vex 3402 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
4847elpr 4539 . . . . 5 (𝑥 ∈ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
4946, 48sylibr 237 . . . 4 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ∈ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))})
5049ssriv 3881 . . 3 ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))}
519toptopon 21668 . . . . . . 7 ({∅, 𝐴} ∈ Top ↔ {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)))
522, 51mpbi 233 . . . . . 6 {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴))
5310toptopon 21668 . . . . . . 7 ({∅, 𝐵} ∈ Top ↔ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵)))
543, 53mpbi 233 . . . . . 6 {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵))
55 txtopon 22342 . . . . . 6 (({∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)) ∧ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵))) → ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
5652, 54, 55mp2an 692 . . . . 5 ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
57 topgele 21681 . . . . 5 (({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))) → ({∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ 𝒫 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
5856, 57ax-mp 5 . . . 4 ({∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ 𝒫 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
5958simpli 487 . . 3 {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵})
6050, 59eqssi 3893 . 2 ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))}
61 txindislem 22384 . . 3 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))
6261preq2i 4628 . 2 {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} = {∅, ( I ‘(𝐴 × 𝐵))}
63 indislem 21751 . 2 {∅, ( I ‘(𝐴 × 𝐵))} = {∅, (𝐴 × 𝐵)}
6460, 62, 633eqtri 2765 1 ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (𝐴 × 𝐵)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  wss 3843  c0 4211  𝒫 cpw 4488  {cpr 4518   cuni 4796   I cid 5428   × cxp 5523  cfv 6339  (class class class)co 7170  Topctop 21644  TopOnctopon 21661   ×t ctx 22311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-topgen 16820  df-top 21645  df-topon 21662  df-bases 21697  df-tx 22313
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator