MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txindis Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txindis 23138
Description: The topological product of indiscrete spaces is indiscrete. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
txindis ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) = {βˆ…, (𝐴 Γ— 𝐡)}
Proof of Theorem txindis
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 4346 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ = βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯)
2 indistop 22505 . . . . . . . . . . 11 {βˆ…, 𝐴} ∈ Top
3 indistop 22505 . . . . . . . . . . 11 {βˆ…, 𝐡} ∈ Top
4 eltx 23072 . . . . . . . . . . 11 (({βˆ…, 𝐴} ∈ Top ∧ {βˆ…, 𝐡} ∈ Top) β†’ (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)))
52, 3, 4mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯))
6 rsp 3245 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)))
75, 6sylbi 216 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)))
8 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}))
9 indisuni 22506 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I β€˜π΄) = βˆͺ {βˆ…, 𝐴}
10 indisuni 22506 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I β€˜π΅) = βˆͺ {βˆ…, 𝐡}
112, 3, 9, 10txunii 23097 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)) = βˆͺ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡})
128, 11sseqtrrdi 4034 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ π‘₯ βŠ† (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
14 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) β†’ (𝑧 Γ— 𝑀) β‰  βˆ…)
1514ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 Γ— 𝑀) β‰  βˆ…)
16 xpnz 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 β‰  βˆ…) ↔ (𝑧 Γ— 𝑀) β‰  βˆ…)
1715, 16sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 β‰  βˆ…))
1817simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑧 β‰  βˆ…)
1918neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ Β¬ 𝑧 = βˆ…)
20 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴})
21 indislem 22503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {βˆ…, ( I β€˜π΄)} = {βˆ…, 𝐴}
2220, 21eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑧 ∈ {βˆ…, ( I β€˜π΄)})
23 elpri 4651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {βˆ…, ( I β€˜π΄)} β†’ (𝑧 = βˆ… ∨ 𝑧 = ( I β€˜π΄)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 = βˆ… ∨ 𝑧 = ( I β€˜π΄)))
2524ord 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (Β¬ 𝑧 = βˆ… β†’ 𝑧 = ( I β€˜π΄)))
2619, 25mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑧 = ( I β€˜π΄))
2717simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
2827neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ Β¬ 𝑀 = βˆ…)
29 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡})
30 indislem 22503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {βˆ…, ( I β€˜π΅)} = {βˆ…, 𝐡}
3129, 30eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…, ( I β€˜π΅)})
32 elpri 4651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ {βˆ…, ( I β€˜π΅)} β†’ (𝑀 = βˆ… ∨ 𝑀 = ( I β€˜π΅)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑀 = βˆ… ∨ 𝑀 = ( I β€˜π΅)))
3433ord 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (Β¬ 𝑀 = βˆ… β†’ 𝑀 = ( I β€˜π΅)))
3528, 34mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑀 = ( I β€˜π΅))
3626, 35xpeq12d 5708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 Γ— 𝑀) = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
37 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)
3836, 37eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)) βŠ† π‘₯)
3938adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)) βŠ† π‘₯)
4013, 39eqssd 4000 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
4140ex 414 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡})) β†’ ((𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯) β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
4241rexlimdvva 3212 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯) β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
437, 42syld 47 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
4443exlimdv 1937 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯ β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
451, 44biimtrid 241 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (Β¬ π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
4645orrd 862 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
47 vex 3479 . . . . . 6 π‘₯ ∈ V
4847elpr 4652 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))} ↔ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
4946, 48sylibr 233 . . . 4 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))})
5049ssriv 3987 . . 3 ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) βŠ† {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))}
519toptopon 22419 . . . . . . 7 ({βˆ…, 𝐴} ∈ Top ↔ {βˆ…, 𝐴} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΄)))
522, 51mpbi 229 . . . . . 6 {βˆ…, 𝐴} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΄))
5310toptopon 22419 . . . . . . 7 ({βˆ…, 𝐡} ∈ Top ↔ {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΅)))
543, 53mpbi 229 . . . . . 6 {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΅))
55 txtopon 23095 . . . . . 6 (({βˆ…, 𝐴} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΄)) ∧ {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΅))) β†’ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∈ (TopOnβ€˜(( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
5652, 54, 55mp2an 691 . . . . 5 ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∈ (TopOnβ€˜(( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
57 topgele 22432 . . . . 5 (({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∈ (TopOnβ€˜(( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))) β†’ ({βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))} βŠ† ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) βŠ† 𝒫 (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
5856, 57ax-mp 5 . . . 4 ({βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))} βŠ† ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) βŠ† 𝒫 (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
5958simpli 485 . . 3 {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))} βŠ† ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡})
6050, 59eqssi 3999 . 2 ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) = {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))}
61 txindislem 23137 . . 3 (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)) = ( I β€˜(𝐴 Γ— 𝐡))
6261preq2i 4742 . 2 {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))} = {βˆ…, ( I β€˜(𝐴 Γ— 𝐡))}
63 indislem 22503 . 2 {βˆ…, ( I β€˜(𝐴 Γ— 𝐡))} = {βˆ…, (𝐴 Γ— 𝐡)}
6460, 62, 633eqtri 2765 1 ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) = {βˆ…, (𝐴 Γ— 𝐡)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {cpr 4631  βˆͺ cuni 4909   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-tx 23066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator