MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txindis Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txindis 23137
Description: The topological product of indiscrete spaces is indiscrete. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
txindis ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) = {βˆ…, (𝐴 Γ— 𝐡)}
Proof of Theorem txindis
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 4345 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ = βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯)
2 indistop 22504 . . . . . . . . . . 11 {βˆ…, 𝐴} ∈ Top
3 indistop 22504 . . . . . . . . . . 11 {βˆ…, 𝐡} ∈ Top
4 eltx 23071 . . . . . . . . . . 11 (({βˆ…, 𝐴} ∈ Top ∧ {βˆ…, 𝐡} ∈ Top) β†’ (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)))
52, 3, 4mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯))
6 rsp 3244 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)))
75, 6sylbi 216 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)))
8 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}))
9 indisuni 22505 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I β€˜π΄) = βˆͺ {βˆ…, 𝐴}
10 indisuni 22505 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I β€˜π΅) = βˆͺ {βˆ…, 𝐡}
112, 3, 9, 10txunii 23096 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)) = βˆͺ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡})
128, 11sseqtrrdi 4033 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ π‘₯ βŠ† (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
1312ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
14 ne0i 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) β†’ (𝑧 Γ— 𝑀) β‰  βˆ…)
1514ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 Γ— 𝑀) β‰  βˆ…)
16 xpnz 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 β‰  βˆ…) ↔ (𝑧 Γ— 𝑀) β‰  βˆ…)
1715, 16sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 β‰  βˆ… ∧ 𝑀 β‰  βˆ…))
1817simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑧 β‰  βˆ…)
1918neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ Β¬ 𝑧 = βˆ…)
20 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴})
21 indislem 22502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {βˆ…, ( I β€˜π΄)} = {βˆ…, 𝐴}
2220, 21eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑧 ∈ {βˆ…, ( I β€˜π΄)})
23 elpri 4650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {βˆ…, ( I β€˜π΄)} β†’ (𝑧 = βˆ… ∨ 𝑧 = ( I β€˜π΄)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 = βˆ… ∨ 𝑧 = ( I β€˜π΄)))
2524ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (Β¬ 𝑧 = βˆ… β†’ 𝑧 = ( I β€˜π΄)))
2619, 25mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑧 = ( I β€˜π΄))
2717simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
2827neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ Β¬ 𝑀 = βˆ…)
29 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡})
30 indislem 22502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {βˆ…, ( I β€˜π΅)} = {βˆ…, 𝐡}
3129, 30eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ {βˆ…, ( I β€˜π΅)})
32 elpri 4650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ {βˆ…, ( I β€˜π΅)} β†’ (𝑀 = βˆ… ∨ 𝑀 = ( I β€˜π΅)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑀 = βˆ… ∨ 𝑀 = ( I β€˜π΅)))
3433ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (Β¬ 𝑀 = βˆ… β†’ 𝑀 = ( I β€˜π΅)))
3528, 34mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ 𝑀 = ( I β€˜π΅))
3626, 35xpeq12d 5707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 Γ— 𝑀) = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
37 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)
3836, 37eqsstrrd 4021 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)) βŠ† π‘₯)
3938adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)) βŠ† π‘₯)
4013, 39eqssd 3999 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
4140ex 413 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ (𝑧 ∈ {βˆ…, 𝐴} ∧ 𝑀 ∈ {βˆ…, 𝐡})) β†’ ((𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯) β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
4241rexlimdvva 3211 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ {βˆ…, 𝐴}βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…, 𝐡} (𝑦 ∈ (𝑧 Γ— 𝑀) ∧ (𝑧 Γ— 𝑀) βŠ† π‘₯) β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
437, 42syld 47 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
4443exlimdv 1936 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯ β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
451, 44biimtrid 241 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (Β¬ π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
4645orrd 861 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
47 vex 3478 . . . . . 6 π‘₯ ∈ V
4847elpr 4651 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))} ↔ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
4946, 48sylibr 233 . . . 4 (π‘₯ ∈ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))})
5049ssriv 3986 . . 3 ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) βŠ† {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))}
519toptopon 22418 . . . . . . 7 ({βˆ…, 𝐴} ∈ Top ↔ {βˆ…, 𝐴} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΄)))
522, 51mpbi 229 . . . . . 6 {βˆ…, 𝐴} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΄))
5310toptopon 22418 . . . . . . 7 ({βˆ…, 𝐡} ∈ Top ↔ {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΅)))
543, 53mpbi 229 . . . . . 6 {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΅))
55 txtopon 23094 . . . . . 6 (({βˆ…, 𝐴} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΄)) ∧ {βˆ…, 𝐡} ∈ (TopOnβ€˜( I β€˜π΅))) β†’ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∈ (TopOnβ€˜(( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
5652, 54, 55mp2an 690 . . . . 5 ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∈ (TopOnβ€˜(( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
57 topgele 22431 . . . . 5 (({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∈ (TopOnβ€˜(( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))) β†’ ({βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))} βŠ† ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) βŠ† 𝒫 (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))))
5856, 57ax-mp 5 . . . 4 ({βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))} βŠ† ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) ∧ ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) βŠ† 𝒫 (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)))
5958simpli 484 . . 3 {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))} βŠ† ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡})
6050, 59eqssi 3998 . 2 ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) = {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))}
61 txindislem 23136 . . 3 (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅)) = ( I β€˜(𝐴 Γ— 𝐡))
6261preq2i 4741 . 2 {βˆ…, (( I β€˜π΄) Γ— ( I β€˜π΅))} = {βˆ…, ( I β€˜(𝐴 Γ— 𝐡))}
63 indislem 22502 . 2 {βˆ…, ( I β€˜(𝐴 Γ— 𝐡))} = {βˆ…, (𝐴 Γ— 𝐡)}
6460, 62, 633eqtri 2764 1 ({βˆ…, 𝐴} Γ—t {βˆ…, 𝐡}) = {βˆ…, (𝐴 Γ— 𝐡)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {cpr 4630  βˆͺ cuni 4908   I cid 5573   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Γ—t ctx 23063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-tx 23065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator