MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txindis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txindis 21731
Description: The topological product of indiscrete spaces is indiscrete. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
txindis ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (𝐴 × 𝐵)}

Proof of Theorem txindis
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 4096 . . . . . . 7 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑥)
2 indistop 21100 . . . . . . . . . . 11 {∅, 𝐴} ∈ Top
3 indistop 21100 . . . . . . . . . . 11 {∅, 𝐵} ∈ Top
4 eltx 21665 . . . . . . . . . . 11 (({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ {∅, 𝐵} ∈ Top) → (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
52, 3, 4mp2an 683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥))
6 rsp 3076 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑥𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → (𝑦𝑥 → ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
75, 6sylbi 208 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑦𝑥 → ∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)))
8 elssuni 4627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}))
9 indisuni 21101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I ‘𝐴) = {∅, 𝐴}
10 indisuni 21101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I ‘𝐵) = {∅, 𝐵}
112, 3, 9, 10txunii 21690 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵})
128, 11syl6sseqr 3814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ⊆ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
1312ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 ⊆ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
14 ne0i 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) → (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
1514ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
16 xpnz 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ≠ ∅) ↔ (𝑧 × 𝑤) ≠ ∅)
1715, 16sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ≠ ∅))
1817simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ≠ ∅)
1918neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → ¬ 𝑧 = ∅)
20 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ∈ {∅, 𝐴})
21 indislem 21098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, 𝐴}
2220, 21syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 ∈ {∅, ( I ‘𝐴)})
23 elpri 4358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {∅, ( I ‘𝐴)} → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
2524ord 890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (¬ 𝑧 = ∅ → 𝑧 = ( I ‘𝐴)))
2619, 25mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑧 = ( I ‘𝐴))
2717simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ≠ ∅)
2827neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → ¬ 𝑤 = ∅)
29 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})
30 indislem 21098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {∅, ( I ‘𝐵)} = {∅, 𝐵}
3129, 30syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 ∈ {∅, ( I ‘𝐵)})
32 elpri 4358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ {∅, ( I ‘𝐵)} → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
3433ord 890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (¬ 𝑤 = ∅ → 𝑤 = ( I ‘𝐵)))
3528, 34mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑤 = ( I ‘𝐵))
3626, 35xpeq12d 5310 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
37 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)
3836, 37eqsstr3d 3802 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵}) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) ⊆ 𝑥)
3938adantll 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) ⊆ 𝑥)
4013, 39eqssd 3780 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) ∧ (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥)) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
4140ex 401 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ (𝑧 ∈ {∅, 𝐴} ∧ 𝑤 ∈ {∅, 𝐵})) → ((𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
4241rexlimdvva 3185 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (∃𝑧 ∈ {∅, 𝐴}∃𝑤 ∈ {∅, 𝐵} (𝑦 ∈ (𝑧 × 𝑤) ∧ (𝑧 × 𝑤) ⊆ 𝑥) → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
437, 42syld 47 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑦𝑥𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
4443exlimdv 2028 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (∃𝑦 𝑦𝑥𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
451, 44syl5bi 233 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (¬ 𝑥 = ∅ → 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
4645orrd 889 . . . . 5 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
47 vex 3353 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
4847elpr 4359 . . . . 5 (𝑥 ∈ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
4946, 48sylibr 225 . . . 4 (𝑥 ∈ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) → 𝑥 ∈ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))})
5049ssriv 3767 . . 3 ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))}
519toptopon 21015 . . . . . . 7 ({∅, 𝐴} ∈ Top ↔ {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)))
522, 51mpbi 221 . . . . . 6 {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴))
5310toptopon 21015 . . . . . . 7 ({∅, 𝐵} ∈ Top ↔ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵)))
543, 53mpbi 221 . . . . . 6 {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵))
55 txtopon 21688 . . . . . 6 (({∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐴)) ∧ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘( I ‘𝐵))) → ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
5652, 54, 55mp2an 683 . . . . 5 ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
57 topgele 21028 . . . . 5 (({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∈ (TopOn‘(( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))) → ({∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ 𝒫 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))))
5856, 57ax-mp 5 . . . 4 ({∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ∧ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) ⊆ 𝒫 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)))
5958simpli 476 . . 3 {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} ⊆ ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵})
6050, 59eqssi 3779 . 2 ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))}
61 txindislem 21730 . . 3 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))
6261preq2i 4429 . 2 {∅, (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵))} = {∅, ( I ‘(𝐴 × 𝐵))}
63 indislem 21098 . 2 {∅, ( I ‘(𝐴 × 𝐵))} = {∅, (𝐴 × 𝐵)}
6460, 62, 633eqtri 2791 1 ({∅, 𝐴} ×t {∅, 𝐵}) = {∅, (𝐴 × 𝐵)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3734  c0 4081  𝒫 cpw 4317  {cpr 4338   cuni 4596   I cid 5186   × cxp 5277  cfv 6070  (class class class)co 6846  Topctop 20991  TopOnctopon 21008   ×t ctx 21657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-topgen 16384  df-top 20992  df-topon 21009  df-bases 21044  df-tx 21659
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator