Theorem sucevenodd 4511

Description: The successor of an even natural is odd. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sucevenodd	⊢ ((A ∈ Evenfin ∧ (A +c 1c) ≠ ∅) → (A +c 1c) ∈ Oddfin )

Proof of Theorem sucevenodd

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2359	. . . . . . . 8 ⊢ (x = A → (x = (m +c m) ↔ A = (m +c m)))
2	1	rexbidv 2636	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (∃m ∈ Nn x = (m +c m) ↔ ∃m ∈ Nn A = (m +c m)))
3		neeq1 2525	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (x ≠ ∅ ↔ A ≠ ∅))
4	2, 3	anbi12d 691	. . . . . 6 ⊢ (x = A → ((∃m ∈ Nn x = (m +c m) ∧ x ≠ ∅) ↔ (∃m ∈ Nn A = (m +c m) ∧ A ≠ ∅)))
5		df-evenfin 4445	. . . . . 6 ⊢ Evenfin = {x ∣ (∃m ∈ Nn x = (m +c m) ∧ x ≠ ∅)}
6	4, 5	elab2g 2988	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Evenfin → (A ∈ Evenfin ↔ (∃m ∈ Nn A = (m +c m) ∧ A ≠ ∅)))
7	6	ibi 232	. . . 4 ⊢ (A ∈ Evenfin → (∃m ∈ Nn A = (m +c m) ∧ A ≠ ∅))
8		addceq1 4384	. . . . . 6 ⊢ (A = (m +c m) → (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c))
9	8	reximi 2722	. . . . 5 ⊢ (∃m ∈ Nn A = (m +c m) → ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c))
10	9	adantr 451	. . . 4 ⊢ ((∃m ∈ Nn A = (m +c m) ∧ A ≠ ∅) → ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c))
11	7, 10	syl 15	. . 3 ⊢ (A ∈ Evenfin → ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c))
12	11	anim1i 551	. 2 ⊢ ((A ∈ Evenfin ∧ (A +c 1c) ≠ ∅) → (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) ∧ (A +c 1c) ≠ ∅))
13		1cex 4143	. . . . 5 ⊢ 1c ∈ V
14		addcexg 4394	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Evenfin ∧ 1c ∈ V) → (A +c 1c) ∈ V)
15	13, 14	mpan2 652	. . . 4 ⊢ (A ∈ Evenfin → (A +c 1c) ∈ V)
16		eqeq1 2359	. . . . . . 7 ⊢ (x = (A +c 1c) → (x = ((m +c m) +c 1c) ↔ (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c)))
17	16	rexbidv 2636	. . . . . 6 ⊢ (x = (A +c 1c) → (∃m ∈ Nn x = ((m +c m) +c 1c) ↔ ∃m ∈ Nn (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c)))
18		neeq1 2525	. . . . . 6 ⊢ (x = (A +c 1c) → (x ≠ ∅ ↔ (A +c 1c) ≠ ∅))
19	17, 18	anbi12d 691	. . . . 5 ⊢ (x = (A +c 1c) → ((∃m ∈ Nn x = ((m +c m) +c 1c) ∧ x ≠ ∅) ↔ (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) ∧ (A +c 1c) ≠ ∅)))
20		df-oddfin 4446	. . . . 5 ⊢ Oddfin = {x ∣ (∃m ∈ Nn x = ((m +c m) +c 1c) ∧ x ≠ ∅)}
21	19, 20	elab2g 2988	. . . 4 ⊢ ((A +c 1c) ∈ V → ((A +c 1c) ∈ Oddfin ↔ (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) ∧ (A +c 1c) ≠ ∅)))
22	15, 21	syl 15	. . 3 ⊢ (A ∈ Evenfin → ((A +c 1c) ∈ Oddfin ↔ (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) ∧ (A +c 1c) ≠ ∅)))
23	22	adantr 451	. 2 ⊢ ((A ∈ Evenfin ∧ (A +c 1c) ≠ ∅) → ((A +c 1c) ∈ Oddfin ↔ (∃m ∈ Nn (A +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) ∧ (A +c 1c) ≠ ∅)))
24	12, 23	mpbird 223	1 ⊢ ((A ∈ Evenfin ∧ (A +c 1c) ≠ ∅) → (A +c 1c) ∈ Oddfin )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∃wrex 2616  Vcvv 2860  ∅c0 3551  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374   +_c cplc 4376   Even_fin cevenfin 4437   Odd_fin coddfin 4438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-addc 4379  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446

This theorem is referenced by:  evenoddnnnul  4515  vinf  4556