Theorem vinf 4556

Description: The universe is infinite. Theorem X.1.63 of [Rosser] p. 536. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
vinf	⊢ ¬ V ∈ Fin

Proof of Theorem vinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3555	. 2 ⊢ ¬ Ncfin Spfin ∈ ∅
2		spfinex 4538	. . . . . . . 8 ⊢ Spfin ∈ V
3		ncfinprop 4475	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Spfin ∈ V) → ( Ncfin Spfin ∈ Nn ∧ Spfin ∈ Ncfin Spfin ))
4	2, 3	mpan2 652	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin Spfin ∈ Nn ∧ Spfin ∈ Ncfin Spfin ))
5		ne0i 3557	. . . . . . . 8 ⊢ ( Spfin ∈ Ncfin Spfin → Ncfin Spfin ≠ ∅)
6	5	anim2i 552	. . . . . . 7 ⊢ (( Ncfin Spfin ∈ Nn ∧ Spfin ∈ Ncfin Spfin ) → ( Ncfin Spfin ∈ Nn ∧ Ncfin Spfin ≠ ∅))
7	4, 6	syl 15	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin Spfin ∈ Nn ∧ Ncfin Spfin ≠ ∅))
8		eldifsn 3840	. . . . . 6 ⊢ ( Ncfin Spfin ∈ ( Nn ∖ {∅}) ↔ ( Ncfin Spfin ∈ Nn ∧ Ncfin Spfin ≠ ∅))
9	7, 8	sylibr 203	. . . . 5 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin Spfin ∈ ( Nn ∖ {∅}))
10		evenoddnnnul 4515	. . . . 5 ⊢ ( Evenfin ∪ Oddfin ) = ( Nn ∖ {∅})
11	9, 10	syl6eleqr 2444	. . . 4 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin Spfin ∈ ( Evenfin ∪ Oddfin ))
12		vfinncsp 4555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin Spfin = ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c))
13	12	adantr 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Evenfin ) → Ncfin Spfin = ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c))
14		eventfin 4518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Ncfin Spfin ∈ Evenfin → Tfin Ncfin Spfin ∈ Evenfin )
15	14	adantl 452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Evenfin ) → Tfin Ncfin Spfin ∈ Evenfin )
16		evennnul 4509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( Ncfin Spfin ∈ Evenfin → Ncfin Spfin ≠ ∅)
17	16	adantl 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Evenfin ) → Ncfin Spfin ≠ ∅)
18	13, 17	eqnetrrd 2537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Evenfin ) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ≠ ∅)
19		sucevenodd 4511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( Tfin Ncfin Spfin ∈ Evenfin ∧ ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ≠ ∅) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ∈ Oddfin )
20	15, 18, 19	syl2anc 642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Evenfin ) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ∈ Oddfin )
21	13, 20	eqeltrd 2427	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Evenfin ) → Ncfin Spfin ∈ Oddfin )
22	21	ex 423	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin Spfin ∈ Evenfin → Ncfin Spfin ∈ Oddfin ))
23	22	ancld 536	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin Spfin ∈ Evenfin → ( Ncfin Spfin ∈ Evenfin ∧ Ncfin Spfin ∈ Oddfin )))
24	12	adantr 451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Oddfin ) → Ncfin Spfin = ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c))
25		oddtfin 4519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Ncfin Spfin ∈ Oddfin → Tfin Ncfin Spfin ∈ Oddfin )
26	25	adantl 452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Oddfin ) → Tfin Ncfin Spfin ∈ Oddfin )
27		oddnnul 4510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( Ncfin Spfin ∈ Oddfin → Ncfin Spfin ≠ ∅)
28	27	adantl 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Oddfin ) → Ncfin Spfin ≠ ∅)
29	24, 28	eqnetrrd 2537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Oddfin ) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ≠ ∅)
30		sucoddeven 4512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( Tfin Ncfin Spfin ∈ Oddfin ∧ ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ≠ ∅) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ∈ Evenfin )
31	26, 29, 30	syl2anc 642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Oddfin ) → ( Tfin Ncfin Spfin +c 1c) ∈ Evenfin )
32	24, 31	eqeltrd 2427	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ Ncfin Spfin ∈ Oddfin ) → Ncfin Spfin ∈ Evenfin )
33	32	ex 423	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin Spfin ∈ Oddfin → Ncfin Spfin ∈ Evenfin ))
34	33	ancrd 537	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin Spfin ∈ Oddfin → ( Ncfin Spfin ∈ Evenfin ∧ Ncfin Spfin ∈ Oddfin )))
35	23, 34	jaod 369	. . . . 5 ⊢ (V ∈ Fin → (( Ncfin Spfin ∈ Evenfin ∨ Ncfin Spfin ∈ Oddfin ) → ( Ncfin Spfin ∈ Evenfin ∧ Ncfin Spfin ∈ Oddfin )))
36		elun 3221	. . . . 5 ⊢ ( Ncfin Spfin ∈ ( Evenfin ∪ Oddfin ) ↔ ( Ncfin Spfin ∈ Evenfin ∨ Ncfin Spfin ∈ Oddfin ))
37		elin 3220	. . . . 5 ⊢ ( Ncfin Spfin ∈ ( Evenfin ∩ Oddfin ) ↔ ( Ncfin Spfin ∈ Evenfin ∧ Ncfin Spfin ∈ Oddfin ))
38	35, 36, 37	3imtr4g 261	. . . 4 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin Spfin ∈ ( Evenfin ∪ Oddfin ) → Ncfin Spfin ∈ ( Evenfin ∩ Oddfin )))
39	11, 38	mpd 14	. . 3 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin Spfin ∈ ( Evenfin ∩ Oddfin ))
40		evenodddisj 4517	. . 3 ⊢ ( Evenfin ∩ Oddfin ) = ∅
41	39, 40	syl6eleq 2443	. 2 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin Spfin ∈ ∅)
42	1, 41	mto 167	1 ⊢ ¬ V ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 357   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  Vcvv 2860   ∖ cdif 3207   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209  ∅c0 3551  {csn 3738  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374   +_c cplc 4376   Fin cfin 4377   Nc_fin cncfin 4435   T_fin ctfin 4436   Even_fin cevenfin 4437   Odd_fin coddfin 4438   Sp_fin cspfin 4440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448

This theorem is referenced by:  nulnnn  4557