Theorem 2omapfi 7262

Description: The number of finite subsets of a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2omapfi	|- ( A e. Fin -> ( 2o ^m A ) ~~ ( ~P A i^i Fin ) )

Proof of Theorem 2omapfi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omapen 7261	. 2 |- ( A e. Fin -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
2		eqid 2232	. . . . 5 |- { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } = { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x }
3		pwexg 4285	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ~P A e. _V )
4	2, 3	rabexd 4249	. . . 4 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } e. _V )
5		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> A e. Fin )
6		elpwi 3674	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> x C_ A )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> A. y e. A DECID y e. x )
9		ssfidc 7189	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ x C_ A /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> x e. Fin )
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> x e. Fin )
11	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> x C_ A )
12		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> A e. Fin )
13		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> x e. Fin )
14		fissfi 7207	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A /\ A e. Fin /\ x e. Fin ) -> A. y e. A DECID y e. x )
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> A. y e. A DECID y e. x )
16	10, 15	impbida 600	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) -> ( A. y e. A DECID y e. x <-> x e. Fin ) )
17	16	rabbidva 2800	. . . 4 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } = { x e. ~P A | x e. Fin } )
18		eqeng 6996	. . . 4 |- ( { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } e. _V -> ( { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } = { x e. ~P A | x e. Fin } -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ { x e. ~P A | x e. Fin } ) )
19	4, 17, 18	sylc 62	. . 3 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ { x e. ~P A | x e. Fin } )
20		dfin5 3217	. . 3 |- ( ~P A i^i Fin ) = { x e. ~P A | x e. Fin }
21	19, 20	breqtrrdi 4144	. 2 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ ( ~P A i^i Fin ) )
22		entr 7015	. 2 |- ( ( ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } /\ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( 2o ^m A ) ~~ ( ~P A i^i Fin ) )
23	1, 21, 22	syl2anc 411	1 |- ( A e. Fin -> ( 2o ^m A ) ~~ ( ~P A i^i Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   _Vcvv 2812   i^i cin 3209   C_ wss 3210   ~Pcpw 3665   class class class wbr 4102  (class class class)co 6041   2oc2o 6632   ^m cmap 6873   ~~ cen 6964   Fincfn 6966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-iord 4478  df-on 4480  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-1o 6638  df-2o 6639  df-er 6758  df-map 6875  df-en 6967  df-fin 6969

This theorem is referenced by:  fipwfi  7263