Theorem 2omapfi 7273

Description: The number of finite subsets of a finite set. For a similar theorem with set size expressed using ♯ (df-ihash 11143), see hashpwfi 11197. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2omapfi	|- ( A e. Fin -> ( 2o ^m A ) ~~ ( ~P A i^i Fin ) )

Proof of Theorem 2omapfi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omapen 7272	. 2 |- ( A e. Fin -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
2		eqid 2234	. . . . 5 |- { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } = { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x }
3		pwexg 4295	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ~P A e. _V )
4	2, 3	rabexd 4259	. . . 4 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } e. _V )
5		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> A e. Fin )
6		elpwi 3680	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> x C_ A )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> A. y e. A DECID y e. x )
9		ssfidc 7200	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ x C_ A /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> x e. Fin )
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> x e. Fin )
11	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> x C_ A )
12		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> A e. Fin )
13		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> x e. Fin )
14		fissfi 7218	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A /\ A e. Fin /\ x e. Fin ) -> A. y e. A DECID y e. x )
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> A. y e. A DECID y e. x )
16	10, 15	impbida 600	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) -> ( A. y e. A DECID y e. x <-> x e. Fin ) )
17	16	rabbidva 2803	. . . 4 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } = { x e. ~P A | x e. Fin } )
18		eqeng 7007	. . . 4 |- ( { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } e. _V -> ( { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } = { x e. ~P A | x e. Fin } -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ { x e. ~P A | x e. Fin } ) )
19	4, 17, 18	sylc 62	. . 3 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ { x e. ~P A | x e. Fin } )
20		dfin5 3220	. . 3 |- ( ~P A i^i Fin ) = { x e. ~P A | x e. Fin }
21	19, 20	breqtrrdi 4153	. 2 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ ( ~P A i^i Fin ) )
22		entr 7026	. 2 |- ( ( ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } /\ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( 2o ^m A ) ~~ ( ~P A i^i Fin ) )
23	1, 21, 22	syl2anc 411	1 |- ( A e. Fin -> ( 2o ^m A ) ~~ ( ~P A i^i Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   i^i cin 3212   C_ wss 3213   ~Pcpw 3671   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   2oc2o 6643   ^m cmap 6884   ~~ cen 6975   Fincfn 6977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-fin 6980

This theorem is referenced by:  fipwfi  7274  hashpwfi  11197