Theorem 2omapfi 7284

Description: The number of finite subsets of a finite set. For a similar theorem with set size expressed using ♯ (df-ihash 11164), see hashpwfi 11218. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2omapfi	|- ( A e. Fin -> ( 2o ^m A ) ~~ ( ~P A i^i Fin ) )

Proof of Theorem 2omapfi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omapen 7283	. 2 |- ( A e. Fin -> ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } )
2		eqid 2234	. . . . 5 |- { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } = { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x }
3		pwexg 4298	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ~P A e. _V )
4	2, 3	rabexd 4262	. . . 4 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } e. _V )
5		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> A e. Fin )
6		elpwi 3683	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> x C_ A )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> A. y e. A DECID y e. x )
9		ssfidc 7211	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ x C_ A /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> x e. Fin )
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ A. y e. A DECID y e. x ) -> x e. Fin )
11	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> x C_ A )
12		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> A e. Fin )
13		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> x e. Fin )
14		fissfi 7229	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A /\ A e. Fin /\ x e. Fin ) -> A. y e. A DECID y e. x )
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) /\ x e. Fin ) -> A. y e. A DECID y e. x )
16	10, 15	impbida 600	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ x e. ~P A ) -> ( A. y e. A DECID y e. x <-> x e. Fin ) )
17	16	rabbidva 2803	. . . 4 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } = { x e. ~P A | x e. Fin } )
18		eqeng 7018	. . . 4 |- ( { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } e. _V -> ( { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } = { x e. ~P A | x e. Fin } -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ { x e. ~P A | x e. Fin } ) )
19	4, 17, 18	sylc 62	. . 3 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ { x e. ~P A | x e. Fin } )
20		dfin5 3221	. . 3 |- ( ~P A i^i Fin ) = { x e. ~P A | x e. Fin }
21	19, 20	breqtrrdi 4156	. 2 |- ( A e. Fin -> { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ ( ~P A i^i Fin ) )
22		entr 7037	. 2 |- ( ( ( 2o ^m A ) ~~ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } /\ { x e. ~P A | A. y e. A DECID y e. x } ~~ ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( 2o ^m A ) ~~ ( ~P A i^i Fin ) )
23	1, 21, 22	syl2anc 411	1 |- ( A e. Fin -> ( 2o ^m A ) ~~ ( ~P A i^i Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   i^i cin 3213   C_ wss 3214   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   2oc2o 6654   ^m cmap 6895   ~~ cen 6986   Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  fipwfi  7285  hashpwfi  11218