Theorem 2omapfi 7313

Description: The number of finite subsets of a finite set. For a similar theorem with set size expressed using ♯ (df-ihash 11196), see hashpwfi 11250. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2omapfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Proof of Theorem 2omapfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omapen 7312	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥}
3		pwexg 4315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	rabexd 4279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∈ V)
5		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ Fin)
6		elpwi 3697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
7	6	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
9		ssfidc 7238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
11	6	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12		simpll 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14		fissfi 7256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
16	10, 15	impbida 604	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ Fin))
17	16	rabbidva 2809	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin})
18		eqeng 7045	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin}))
19	4, 17, 18	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin})
20		dfin5 3227	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin}
21	19, 20	breqtrrdi 4170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
22		entr 7064	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
23	1, 21, 22	syl2anc 415	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4128  (class class class)co 6078  2_oc2o 6674   ↑_𝑚 cmap 6915   ≈ cen 7013  Fincfn 7015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-1o 6680  df-2o 6681  df-er 6800  df-map 6917  df-en 7016  df-fin 7018

This theorem is referenced by:  fipwfi  7314  hashpwfi  11250