Theorem 2omapfi 7284

Description: The number of finite subsets of a finite set. For a similar theorem with set size expressed using ♯ (df-ihash 11164), see hashpwfi 11218. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2omapfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Proof of Theorem 2omapfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omapen 7283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
2		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥}
3		pwexg 4298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	rabexd 4262	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∈ V)
5		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ Fin)
6		elpwi 3683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
9		ssfidc 7211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
11	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14		fissfi 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
16	10, 15	impbida 600	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ Fin))
17	16	rabbidva 2803	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin})
18		eqeng 7018	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin}))
19	4, 17, 18	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin})
20		dfin5 3221	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin}
21	19, 20	breqtrrdi 4156	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
22		entr 7037	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
23	1, 21, 22	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526  Vcvv 2815   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3674   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  2_oc2o 6654   ↑_𝑚 cmap 6895   ≈ cen 6986  Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  fipwfi  7285  hashpwfi  11218