Theorem 2omapfi 7273

Description: The number of finite subsets of a finite set. For a similar theorem with set size expressed using ♯ (df-ihash 11143), see hashpwfi 11197. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2omapfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Proof of Theorem 2omapfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omapen 7272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
2		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥}
3		pwexg 4295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	rabexd 4259	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∈ V)
5		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ Fin)
6		elpwi 3680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
9		ssfidc 7200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
11	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14		fissfi 7218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
16	10, 15	impbida 600	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ Fin))
17	16	rabbidva 2803	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin})
18		eqeng 7007	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin}))
19	4, 17, 18	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin})
20		dfin5 3220	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin}
21	19, 20	breqtrrdi 4153	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
22		entr 7026	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
23	1, 21, 22	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526  Vcvv 2815   ∩ cin 3212   ⊆ wss 3213  𝒫 cpw 3671   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  2_oc2o 6643   ↑_𝑚 cmap 6884   ≈ cen 6975  Fincfn 6977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-fin 6980

This theorem is referenced by:  fipwfi  7274  hashpwfi  11197