Theorem 2omapfi 7262

Description: The number of finite subsets of a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
2omapfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Proof of Theorem 2omapfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2omapen 7261	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥})
2		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥}
3		pwexg 4285	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	rabexd 4249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∈ V)
5		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ Fin)
6		elpwi 3674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
9		ssfidc 7189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
11	6	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
14		fissfi 7207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥)
16	10, 15	impbida 600	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ Fin))
17	16	rabbidva 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin})
18		eqeng 6996	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin}))
19	4, 17, 18	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin})
20		dfin5 3217	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ Fin}
21	19, 20	breqtrrdi 4144	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
22		entr 7015	. 2 ⊢ (((2o ↑𝑚 𝐴) ≈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 ∈ 𝑥} ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
23	1, 21, 22	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (2o ↑𝑚 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524  Vcvv 2812   ∩ cin 3209   ⊆ wss 3210  𝒫 cpw 3665   class class class wbr 4102  (class class class)co 6041  2_oc2o 6632   ↑_𝑚 cmap 6873   ≈ cen 6964  Fincfn 6966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-iinf 4701

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-iord 4478  df-on 4480  df-suc 4483  df-iom 4704  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-1st 6325  df-2nd 6326  df-1o 6638  df-2o 6639  df-er 6758  df-map 6875  df-en 6967  df-fin 6969

This theorem is referenced by:  fipwfi  7263