Theorem addlocprlemlt 7560

Description: Lemma for addlocpr 7565. The Q <Q ( D +Q E ) case. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlocprlem.a	|- ( ph -> A e. P. )
addlocprlem.b	|- ( ph -> B e. P. )
addlocprlem.qr	|- ( ph -> Q <Q R )
addlocprlem.p	|- ( ph -> P e. Q. )
addlocprlem.qppr	|- ( ph -> ( Q +Q ( P +Q P ) ) = R )
addlocprlem.dlo	|- ( ph -> D e. ( 1st ` A ) )
addlocprlem.uup	|- ( ph -> U e. ( 2nd ` A ) )
addlocprlem.du	|- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
addlocprlem.elo	|- ( ph -> E e. ( 1st ` B ) )
addlocprlem.tup	|- ( ph -> T e. ( 2nd ` B ) )
addlocprlem.et	|- ( ph -> T <Q ( E +Q P ) )

Assertion

Ref	Expression
addlocprlemlt	|- ( ph -> ( Q <Q ( D +Q E ) -> Q e. ( 1st ` ( A +P. B ) ) ) )

Proof of Theorem addlocprlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlocprlem.a	. . 3 |- ( ph -> A e. P. )
2		addlocprlem.dlo	. . 3 |- ( ph -> D e. ( 1st ` A ) )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A e. P. /\ D e. ( 1st ` A ) ) )
4		addlocprlem.b	. . 3 |- ( ph -> B e. P. )
5		addlocprlem.elo	. . 3 |- ( ph -> E e. ( 1st ` B ) )
6	4, 5	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( B e. P. /\ E e. ( 1st ` B ) ) )
7		addlocprlem.qr	. . 3 |- ( ph -> Q <Q R )
8		ltrelnq 7394	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
9	8	brel 4696	. . . 4 |- ( Q <Q R -> ( Q e. Q. /\ R e. Q. ) )
10	9	simpld 112	. . 3 |- ( Q <Q R -> Q e. Q. )
11	7, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> Q e. Q. )
12		addnqprl 7558	. 2 |- ( ( ( ( A e. P. /\ D e. ( 1st ` A ) ) /\ ( B e. P. /\ E e. ( 1st ` B ) ) ) /\ Q e. Q. ) -> ( Q <Q ( D +Q E ) -> Q e. ( 1st ` ( A +P. B ) ) ) )
13	3, 6, 11, 12	syl21anc 1248	1 |- ( ph -> ( Q <Q ( D +Q E ) -> Q e. ( 1st ` ( A +P. B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   1stc1st 6163   2ndc2nd 6164   Q.cnq 7309   +Q cplq 7311   <Q cltq 7314   P.cnp 7320   +P. cpp 7322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-er 6559  df-ec 6561  df-qs 6565  df-ni 7333  df-pli 7334  df-mi 7335  df-lti 7336  df-plpq 7373  df-mpq 7374  df-enq 7376  df-nqqs 7377  df-plqqs 7378  df-mqqs 7379  df-1nqqs 7380  df-rq 7381  df-ltnqqs 7382  df-inp 7495  df-iplp 7497

This theorem is referenced by:  addlocprlem  7564