Theorem addlocprlemlt 7151

Description: Lemma for addlocpr 7156. The Q <Q ( D +Q E ) case. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlocprlem.a	|- ( ph -> A e. P. )
addlocprlem.b	|- ( ph -> B e. P. )
addlocprlem.qr	|- ( ph -> Q <Q R )
addlocprlem.p	|- ( ph -> P e. Q. )
addlocprlem.qppr	|- ( ph -> ( Q +Q ( P +Q P ) ) = R )
addlocprlem.dlo	|- ( ph -> D e. ( 1st ` A ) )
addlocprlem.uup	|- ( ph -> U e. ( 2nd ` A ) )
addlocprlem.du	|- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
addlocprlem.elo	|- ( ph -> E e. ( 1st ` B ) )
addlocprlem.tup	|- ( ph -> T e. ( 2nd ` B ) )
addlocprlem.et	|- ( ph -> T <Q ( E +Q P ) )

Assertion

Ref	Expression
addlocprlemlt	|- ( ph -> ( Q <Q ( D +Q E ) -> Q e. ( 1st ` ( A +P. B ) ) ) )

Proof of Theorem addlocprlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlocprlem.a	. . 3 |- ( ph -> A e. P. )
2		addlocprlem.dlo	. . 3 |- ( ph -> D e. ( 1st ` A ) )
3	1, 2	jca 301	. 2 |- ( ph -> ( A e. P. /\ D e. ( 1st ` A ) ) )
4		addlocprlem.b	. . 3 |- ( ph -> B e. P. )
5		addlocprlem.elo	. . 3 |- ( ph -> E e. ( 1st ` B ) )
6	4, 5	jca 301	. 2 |- ( ph -> ( B e. P. /\ E e. ( 1st ` B ) ) )
7		addlocprlem.qr	. . 3 |- ( ph -> Q <Q R )
8		ltrelnq 6985	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
9	8	brel 4503	. . . 4 |- ( Q <Q R -> ( Q e. Q. /\ R e. Q. ) )
10	9	simpld 111	. . 3 |- ( Q <Q R -> Q e. Q. )
11	7, 10	syl 14	. 2 |- ( ph -> Q e. Q. )
12		addnqprl 7149	. 2 |- ( ( ( ( A e. P. /\ D e. ( 1st ` A ) ) /\ ( B e. P. /\ E e. ( 1st ` B ) ) ) /\ Q e. Q. ) -> ( Q <Q ( D +Q E ) -> Q e. ( 1st ` ( A +P. B ) ) ) )
13	3, 6, 11, 12	syl21anc 1174	1 |- ( ph -> ( Q <Q ( D +Q E ) -> Q e. ( 1st ` ( A +P. B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   1stc1st 5923   2ndc2nd 5924   Q.cnq 6900   +Q cplq 6902   <Q cltq 6905   P.cnp 6911   +P. cpp 6913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972  df-ltnqqs 6973  df-inp 7086  df-iplp 7088

This theorem is referenced by:  addlocprlem  7155