Theorem addlocprlemlt 7674

Description: Lemma for addlocpr 7679. The 𝑄 <_Q (𝐷 +_Q 𝐸) case. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlocprlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ P)
addlocprlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ P)
addlocprlem.qr	⊢ (𝜑 → 𝑄 <Q 𝑅)
addlocprlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Q)
addlocprlem.qppr	⊢ (𝜑 → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = 𝑅)
addlocprlem.dlo	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (1st ‘𝐴))
addlocprlem.uup	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (2nd ‘𝐴))
addlocprlem.du	⊢ (𝜑 → 𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
addlocprlem.elo	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1st ‘𝐵))
addlocprlem.tup	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (2nd ‘𝐵))
addlocprlem.et	⊢ (𝜑 → 𝑇 <Q (𝐸 +Q 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
addlocprlemlt	⊢ (𝜑 → (𝑄 <Q (𝐷 +Q 𝐸) → 𝑄 ∈ (1st ‘(𝐴 +P 𝐵))))

Proof of Theorem addlocprlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlocprlem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ P)
2		addlocprlem.dlo	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (1st ‘𝐴))
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ (1st ‘𝐴)))
4		addlocprlem.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ P)
5		addlocprlem.elo	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1st ‘𝐵))
6	4, 5	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ P ∧ 𝐸 ∈ (1st ‘𝐵)))
7		addlocprlem.qr	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 <Q 𝑅)
8		ltrelnq 7508	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
9	8	brel 4740	. . . 4 ⊢ (𝑄 <Q 𝑅 → (𝑄 ∈ Q ∧ 𝑅 ∈ Q))
10	9	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝑄 <Q 𝑅 → 𝑄 ∈ Q)
11	7, 10	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Q)
12		addnqprl 7672	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐷 ∈ (1st ‘𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐸 ∈ (1st ‘𝐵))) ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 <Q (𝐷 +Q 𝐸) → 𝑄 ∈ (1st ‘(𝐴 +P 𝐵))))
13	3, 6, 11, 12	syl21anc 1249	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 <Q (𝐷 +Q 𝐸) → 𝑄 ∈ (1st ‘(𝐴 +P 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4054  ‘cfv 5285  (class class class)co 5962  1^st c1st 6242  2^nd c2nd 6243  Qcnq 7423   +_Q cplq 7425   <_Q cltq 7428  Pcnp 7434   +_P cpp 7436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-eprel 4349  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-irdg 6474  df-1o 6520  df-oadd 6524  df-omul 6525  df-er 6638  df-ec 6640  df-qs 6644  df-ni 7447  df-pli 7448  df-mi 7449  df-lti 7450  df-plpq 7487  df-mpq 7488  df-enq 7490  df-nqqs 7491  df-plqqs 7492  df-mqqs 7493  df-1nqqs 7494  df-rq 7495  df-ltnqqs 7496  df-inp 7609  df-iplp 7611

This theorem is referenced by:  addlocprlem  7678