Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnqprl Unicode version

 Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression

Proof of Theorem addnqprl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prop 7276 . . . . . 6
2 addnqprllem 7328 . . . . . 6
31, 2sylanl1 399 . . . . 5
43adantlr 468 . . . 4
5 prop 7276 . . . . . 6
6 addnqprllem 7328 . . . . . 6
75, 6sylanl1 399 . . . . 5
87adantll 467 . . . 4
94, 8jcad 305 . . 3
10 simpl 108 . . . 4
11 simpl 108 . . . . 5
12 simpl 108 . . . . 5
1311, 12anim12i 336 . . . 4
14 df-iplp 7269 . . . . 5
15 addclnq 7176 . . . . 5
1614, 15genpprecll 7315 . . . 4
1710, 13, 163syl 17 . . 3
189, 17syld 45 . 2
19 simpr 109 . . . . 5
20 elprnql 7282 . . . . . . . . 9
211, 20sylan 281 . . . . . . . 8
2221ad2antrr 479 . . . . . . 7
23 elprnql 7282 . . . . . . . . 9
245, 23sylan 281 . . . . . . . 8
2524ad2antlr 480 . . . . . . 7
26 addclnq 7176 . . . . . . 7
2722, 25, 26syl2anc 408 . . . . . 6
28 recclnq 7193 . . . . . 6
2927, 28syl 14 . . . . 5
30 mulassnqg 7185 . . . . 5
3119, 29, 27, 30syl3anc 1216 . . . 4
32 mulclnq 7177 . . . . . 6
3319, 29, 32syl2anc 408 . . . . 5
34 distrnqg 7188 . . . . 5
3533, 22, 25, 34syl3anc 1216 . . . 4
36 mulcomnqg 7184 . . . . . . . 8
3729, 27, 36syl2anc 408 . . . . . . 7
38 recidnq 7194 . . . . . . . 8
3927, 38syl 14 . . . . . . 7
4037, 39eqtrd 2170 . . . . . 6
4140oveq2d 5783 . . . . 5
42 mulidnq 7190 . . . . . 6
4342adantl 275 . . . . 5
4441, 43eqtrd 2170 . . . 4
4531, 35, 443eqtr3d 2178 . . 3
4645eleq1d 2206 . 2
4718, 46sylibd 148 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1331   wcel 1480  cop 3525   class class class wbr 3924  cfv 5118  (class class class)co 5767  c1st 6029  c2nd 6030  cnq 7081  c1q 7082   cplq 7083   cmq 7084  crq 7085   cltq 7086  cnp 7092   cpp 7094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-inp 7267  df-iplp 7269 This theorem is referenced by:  addlocprlemlt  7332  addclpr  7338
 Copyright terms: Public domain W3C validator