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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > addnqpru | Unicode version |
Description: Lemma to prove upward closure in positive real addition. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
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addnqpru |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prop 7131 |
. . . . . 6
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2 | addnqprulem 7184 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | sylanl1 395 |
. . . . 5
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4 | 3 | adantlr 462 |
. . . 4
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5 | prop 7131 |
. . . . . 6
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6 | addnqprulem 7184 |
. . . . . 6
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7 | 5, 6 | sylanl1 395 |
. . . . 5
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8 | 7 | adantll 461 |
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9 | 4, 8 | jcad 302 |
. . 3
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10 | simpl 108 |
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11 | simpl 108 |
. . . . 5
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12 | simpl 108 |
. . . . 5
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13 | 11, 12 | anim12i 332 |
. . . 4
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14 | df-iplp 7124 |
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15 | addclnq 7031 |
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16 | 14, 15 | genppreclu 7171 |
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17 | 10, 13, 16 | 3syl 17 |
. . 3
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18 | 9, 17 | syld 45 |
. 2
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19 | simpr 109 |
. . . . 5
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20 | elprnqu 7138 |
. . . . . . . . 9
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21 | 1, 20 | sylan 278 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | ad2antrr 473 |
. . . . . . 7
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23 | elprnqu 7138 |
. . . . . . . . 9
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24 | 5, 23 | sylan 278 |
. . . . . . . 8
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25 | 24 | ad2antlr 474 |
. . . . . . 7
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26 | addclnq 7031 |
. . . . . . 7
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27 | 22, 25, 26 | syl2anc 404 |
. . . . . 6
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28 | recclnq 7048 |
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29 | 27, 28 | syl 14 |
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30 | mulassnqg 7040 |
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31 | 19, 29, 27, 30 | syl3anc 1181 |
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32 | mulclnq 7032 |
. . . . . 6
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33 | 19, 29, 32 | syl2anc 404 |
. . . . 5
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34 | distrnqg 7043 |
. . . . 5
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35 | 33, 22, 25, 34 | syl3anc 1181 |
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36 | mulcomnqg 7039 |
. . . . . . . 8
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37 | 29, 27, 36 | syl2anc 404 |
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38 | recidnq 7049 |
. . . . . . . 8
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39 | 27, 38 | syl 14 |
. . . . . . 7
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40 | 37, 39 | eqtrd 2127 |
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41 | 40 | oveq2d 5706 |
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42 | mulidnq 7045 |
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43 | 42 | adantl 272 |
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44 | 41, 43 | eqtrd 2127 |
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45 | 31, 35, 44 | 3eqtr3d 2135 |
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46 | 45 | eleq1d 2163 |
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47 | 18, 46 | sylibd 148 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 582 ax-in2 583 ax-io 668 ax-5 1388 ax-7 1389 ax-gen 1390 ax-ie1 1434 ax-ie2 1435 ax-8 1447 ax-10 1448 ax-11 1449 ax-i12 1450 ax-bndl 1451 ax-4 1452 ax-13 1456 ax-14 1457 ax-17 1471 ax-i9 1475 ax-ial 1479 ax-i5r 1480 ax-ext 2077 ax-coll 3975 ax-sep 3978 ax-nul 3986 ax-pow 4030 ax-pr 4060 ax-un 4284 ax-setind 4381 ax-iinf 4431 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 784 df-3or 928 df-3an 929 df-tru 1299 df-fal 1302 df-nf 1402 df-sb 1700 df-eu 1958 df-mo 1959 df-clab 2082 df-cleq 2088 df-clel 2091 df-nfc 2224 df-ne 2263 df-ral 2375 df-rex 2376 df-reu 2377 df-rab 2379 df-v 2635 df-sbc 2855 df-csb 2948 df-dif 3015 df-un 3017 df-in 3019 df-ss 3026 df-nul 3303 df-pw 3451 df-sn 3472 df-pr 3473 df-op 3475 df-uni 3676 df-int 3711 df-iun 3754 df-br 3868 df-opab 3922 df-mpt 3923 df-tr 3959 df-eprel 4140 df-id 4144 df-iord 4217 df-on 4219 df-suc 4222 df-iom 4434 df-xp 4473 df-rel 4474 df-cnv 4475 df-co 4476 df-dm 4477 df-rn 4478 df-res 4479 df-ima 4480 df-iota 5014 df-fun 5051 df-fn 5052 df-f 5053 df-f1 5054 df-fo 5055 df-f1o 5056 df-fv 5057 df-ov 5693 df-oprab 5694 df-mpt2 5695 df-1st 5949 df-2nd 5950 df-recs 6108 df-irdg 6173 df-1o 6219 df-oadd 6223 df-omul 6224 df-er 6332 df-ec 6334 df-qs 6338 df-ni 6960 df-pli 6961 df-mi 6962 df-lti 6963 df-plpq 7000 df-mpq 7001 df-enq 7003 df-nqqs 7004 df-plqqs 7005 df-mqqs 7006 df-1nqqs 7007 df-rq 7008 df-ltnqqs 7009 df-inp 7122 df-iplp 7124 |
This theorem is referenced by: addlocprlemeq 7189 addlocprlemgt 7190 addclpr 7193 |
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