Theorem apcon4bid 8732

Description: Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
apcon4bid.a	|- ( ph -> A e. CC )
apcon4bid.b	|- ( ph -> B e. CC )
apcon4bid.c	|- ( ph -> C e. CC )
apcon4bid.d	|- ( ph -> D e. CC )
apcon4bid.1	|- ( ph -> ( A # B <-> C # D ) )

Assertion

Ref	Expression
apcon4bid	|- ( ph -> ( A = B <-> C = D ) )

Proof of Theorem apcon4bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apcon4bid.1	. . 3 |- ( ph -> ( A # B <-> C # D ) )
2	1	notbid 669	. 2 |- ( ph -> ( -. A # B <-> -. C # D ) )
3		apcon4bid.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
4		apcon4bid.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
5		apti 8730	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A = B <-> -. A # B ) )
7		apcon4bid.c	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
8		apcon4bid.d	. . 3 |- ( ph -> D e. CC )
9		apti 8730	. . 3 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C = D <-> -. C # D ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( C = D <-> -. C # D ) )
11	2, 6, 10	3bitr4d 220	1 |- ( ph -> ( A = B <-> C = D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   CCcc 7958   # cap 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690

This theorem is referenced by:  mul0eqap  8778  abs00  11490  mul0inf  11667