Theorem apcon4bid 8500

Description: Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
apcon4bid.a	|- ( ph -> A e. CC )
apcon4bid.b	|- ( ph -> B e. CC )
apcon4bid.c	|- ( ph -> C e. CC )
apcon4bid.d	|- ( ph -> D e. CC )
apcon4bid.1	|- ( ph -> ( A # B <-> C # D ) )

Assertion

Ref	Expression
apcon4bid	|- ( ph -> ( A = B <-> C = D ) )

Proof of Theorem apcon4bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apcon4bid.1	. . 3 |- ( ph -> ( A # B <-> C # D ) )
2	1	notbid 657	. 2 |- ( ph -> ( -. A # B <-> -. C # D ) )
3		apcon4bid.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
4		apcon4bid.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
5		apti 8498	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( A = B <-> -. A # B ) )
7		apcon4bid.c	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
8		apcon4bid.d	. . 3 |- ( ph -> D e. CC )
9		apti 8498	. . 3 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C = D <-> -. C # D ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( C = D <-> -. C # D ) )
11	2, 6, 10	3bitr4d 219	1 |- ( ph -> ( A = B <-> C = D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3966   CCcc 7731   # cap 8457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-ltxr 7918  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458

This theorem is referenced by:  mul0eqap  8545  abs00  10968  mul0inf  11144