ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apcon4bid Unicode version

Theorem apcon4bid 8500
Description: Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
apcon4bid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
apcon4bid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
apcon4bid.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
apcon4bid.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
apcon4bid.1  |-  ( ph  ->  ( A #  B  <->  C #  D
) )
Assertion
Ref Expression
apcon4bid  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
C  =  D ) )

Proof of Theorem apcon4bid
StepHypRef Expression
1 apcon4bid.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A #  B  <->  C #  D
) )
21notbid 657 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  A #  B  <->  -.  C #  D ) )
3 apcon4bid.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 apcon4bid.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5 apti 8498 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  =  B  <->  -.  A #  B )
)
63, 4, 5syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <->  -.  A #  B )
)
7 apcon4bid.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8 apcon4bid.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
9 apti 8498 . . 3  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( C  =  D  <->  -.  C #  D )
)
107, 8, 9syl2anc 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  D  <->  -.  C #  D )
)
112, 6, 103bitr4d 219 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
C  =  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3966   CCcc 7731   # cap 8457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-ltxr 7918  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458
This theorem is referenced by:  mul0eqap  8545  abs00  10968  mul0inf  11144
  Copyright terms: Public domain W3C validator