Theorem apcon4bid 8697

Description: Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
apcon4bid.a	|- ( ph -> A e. CC )
apcon4bid.b	|- ( ph -> B e. CC )
apcon4bid.c	|- ( ph -> C e. CC )
apcon4bid.d	|- ( ph -> D e. CC )
apcon4bid.1	|- ( ph -> ( A # B <-> C # D ) )

Assertion

Ref	Expression
apcon4bid	|- ( ph -> ( A = B <-> C = D ) )

Proof of Theorem apcon4bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apcon4bid.1	. . 3 |- ( ph -> ( A # B <-> C # D ) )
2	1	notbid 669	. 2 |- ( ph -> ( -. A # B <-> -. C # D ) )
3		apcon4bid.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
4		apcon4bid.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
5		apti 8695	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A = B <-> -. A # B ) )
7		apcon4bid.c	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
8		apcon4bid.d	. . 3 |- ( ph -> D e. CC )
9		apti 8695	. . 3 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C = D <-> -. C # D ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( C = D <-> -. C # D ) )
11	2, 6, 10	3bitr4d 220	1 |- ( ph -> ( A = B <-> C = D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   CCcc 7923   # cap 8654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655

This theorem is referenced by:  mul0eqap  8743  abs00  11375  mul0inf  11552