Theorem apcon4bid 8900

Description: Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
apcon4bid.a	|- ( ph -> A e. CC )
apcon4bid.b	|- ( ph -> B e. CC )
apcon4bid.c	|- ( ph -> C e. CC )
apcon4bid.d	|- ( ph -> D e. CC )
apcon4bid.1	|- ( ph -> ( A # B <-> C # D ) )

Assertion

Ref	Expression
apcon4bid	|- ( ph -> ( A = B <-> C = D ) )

Proof of Theorem apcon4bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apcon4bid.1	. . 3 |- ( ph -> ( A # B <-> C # D ) )
2	1	notbid 673	. 2 |- ( ph -> ( -. A # B <-> -. C # D ) )
3		apcon4bid.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
4		apcon4bid.b	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
5		apti 8898	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A = B <-> -. A # B ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A = B <-> -. A # B ) )
7		apcon4bid.c	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
8		apcon4bid.d	. . 3 |- ( ph -> D e. CC )
9		apti 8898	. . 3 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( C = D <-> -. C # D ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( C = D <-> -. C # D ) )
11	2, 6, 10	3bitr4d 220	1 |- ( ph -> ( A = B <-> C = D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   CCcc 8127   # cap 8857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858

This theorem is referenced by:  mul0eqap  8946  abs00  11753  mul0inf  11930