Theorem apcon4bid 8522

Description: Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
apcon4bid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
apcon4bid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
apcon4bid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
apcon4bid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
apcon4bid.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐶 # 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
apcon4bid	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem apcon4bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apcon4bid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐶 # 𝐷))
2	1	notbid 657	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 # 𝐵 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
3		apcon4bid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		apcon4bid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		apti 8520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
7		apcon4bid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8		apcon4bid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9		apti 8520	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
10	7, 8, 9	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
11	2, 6, 10	3bitr4d 219	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ℂcc 7751   # cap 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480

This theorem is referenced by:  mul0eqap  8567  abs00  11006  mul0inf  11182