Theorem apcon4bid 8499

Description: Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
apcon4bid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
apcon4bid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
apcon4bid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
apcon4bid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
apcon4bid.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐶 # 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
apcon4bid	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem apcon4bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apcon4bid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐶 # 𝐷))
2	1	notbid 657	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 # 𝐵 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
3		apcon4bid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		apcon4bid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		apti 8497	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
7		apcon4bid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8		apcon4bid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9		apti 8497	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
10	7, 8, 9	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
11	2, 6, 10	3bitr4d 219	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ℂcc 7730   # cap 8456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457

This theorem is referenced by:  mul0eqap  8544  abs00  10964  mul0inf  11140