Theorem apcon4bid 8298

Description: Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
apcon4bid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
apcon4bid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
apcon4bid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
apcon4bid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
apcon4bid.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐶 # 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
apcon4bid	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem apcon4bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apcon4bid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐶 # 𝐷))
2	1	notbid 639	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 # 𝐵 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
3		apcon4bid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		apcon4bid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		apti 8296	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2anc 406	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
7		apcon4bid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8		apcon4bid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9		apti 8296	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
10	7, 8, 9	syl2anc 406	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
11	2, 6, 10	3bitr4d 219	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1312   ∈ wcel 1461   class class class wbr 3893  ℂcc 7539   # cap 8255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-ltxr 7723  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256

This theorem is referenced by:  mul0eqap  8338  abs00  10722  mul0inf  10898