Theorem apcon4bid 8389

Description: Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
apcon4bid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
apcon4bid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
apcon4bid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
apcon4bid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
apcon4bid.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐶 # 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
apcon4bid	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem apcon4bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apcon4bid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐶 # 𝐷))
2	1	notbid 656	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 # 𝐵 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
3		apcon4bid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		apcon4bid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		apti 8387	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
7		apcon4bid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8		apcon4bid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9		apti 8387	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
10	7, 8, 9	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
11	2, 6, 10	3bitr4d 219	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ℂcc 7621   # cap 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-ltxr 7808  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347

This theorem is referenced by:  mul0eqap  8434  abs00  10839  mul0inf  11015