Theorem apcon4bid 8960

Description: Contrapositive law deduction for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
apcon4bid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
apcon4bid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
apcon4bid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
apcon4bid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
apcon4bid.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐶 # 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
apcon4bid	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem apcon4bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apcon4bid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐶 # 𝐷))
2	1	notbid 677	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 # 𝐵 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
3		apcon4bid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		apcon4bid.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		apti 8958	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
7		apcon4bid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8		apcon4bid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9		apti 8958	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ 𝐶 # 𝐷))
11	2, 6, 10	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℂcc 8183   # cap 8917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918

This theorem is used by:  msq0  9005  mul0eqap  9008  abs00  11852  mul0inf  12032