Theorem leltap 8652

Description: <_ implies 'less than' is 'apart'. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
leltap	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B # A ) )

Proof of Theorem leltap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ B )
2		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A e. RR )
3		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8144	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> -. B < A )
6		biorf 745	. . 3 |- ( -. B < A -> ( A < B <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
8		reaplt 8615	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B # A <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
9	3, 2, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( B # A <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
10	7, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B # A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RRcr 7878   < clt 8061   <_ cle 8062   # cap 8608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609

This theorem is referenced by:  leltapd  8666  gcdn0gt0  12145  isprm3  12286