Theorem leltap 8479

Description: <_ implies 'less than' is 'apart'. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
leltap	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B # A ) )

Proof of Theorem leltap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 984	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ B )
2		simp1 982	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A e. RR )
3		simp2 983	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 7972	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbid 146	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> -. B < A )
6		biorf 734	. . 3 |- ( -. B < A -> ( A < B <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
8		reaplt 8442	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B # A <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
9	3, 2, 8	syl2anc 409	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( B # A <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
10	7, 9	bitr4d 190	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B # A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 963   e. wcel 2125   class class class wbr 3961   RRcr 7710   < clt 7891   <_ cle 7892   # cap 8435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436

This theorem is referenced by:  leltapd  8493  gcdn0gt0  11834  isprm3  11967