Theorem leltap 8807

Description: <_ implies 'less than' is 'apart'. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
leltap	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B # A ) )

Proof of Theorem leltap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1025	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A <_ B )
2		simp1 1023	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A e. RR )
3		simp2 1024	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR )
4	2, 3	lenltd 8299	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	1, 4	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> -. B < A )
6		biorf 751	. . 3 |- ( -. B < A -> ( A < B <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
8		reaplt 8770	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B # A <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
9	3, 2, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( B # A <-> ( B < A \/ A < B ) ) )
10	7, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A < B <-> B # A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 715   /\ w3a 1004   e. wcel 2201   class class class wbr 4087   RRcr 8033   < clt 8216   <_ cle 8217   # cap 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-br 4088  df-opab 4150  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764

This theorem is referenced by:  leltapd  8821  gcdn0gt0  12569  isprm3  12710