Theorem ascldimul 15080

Description: The algebra scalar lifting function distributes over multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascldimul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascldimul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascldimul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ascldimul.t	⊢ × = (.r‘𝑊)
ascldimul.s	⊢ · = (.r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ascldimul	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

Proof of Theorem ascldimul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 15055	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2 1029	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ 𝐾)
4		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ 𝐾)
5		assaring 15056	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
6	5	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Ring)
7		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
9	7, 8	ringidcl 14374	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
10	6, 9	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
11		ascldimul.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		ascldimul.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
14		ascldimul.s	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐹)
15	7, 11, 12, 13, 14	lmodvsass 14699	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
16	2, 3, 4, 10, 15	syl13anc 1280	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
17		ascldimul.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18	11	assasca 15057	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
19	13, 14	ringcl 14366	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
20	18, 19	syl3an1 1311	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅 · 𝑆) ∈ 𝐾)
21	17, 11, 13, 12, 8, 20, 2, 6	asclvald 15071	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝑅 · 𝑆)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
22	17, 11, 5, 1, 13, 7	asclf 15073	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐴:𝐾⟶(Base‘𝑊))
23	22	ffvelcdmda 5843	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) ∈ (Base‘𝑊))
24	23	3adant2 1047	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) ∈ (Base‘𝑊))
25		ascldimul.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑊)
26	17, 11, 13, 7, 25, 12	asclmul1 15078	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴‘𝑆) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐴‘𝑆)))
27	24, 26	syld3an3 1323	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐴‘𝑆)))
28	17, 11, 13, 12, 8, 4, 2, 6	asclvald 15071	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑆) = (𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
29	28	oveq2d 6101	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
30	27, 29	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)) = (𝑅( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑆( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
31	16, 21, 30	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑆 ∈ 𝐾) → (𝐴‘(𝑅 · 𝑆)) = ((𝐴‘𝑅) × (𝐴‘𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13401  ._rcmulr 13481  Scalarcsca 13483   ·_𝑠 cvsca 13484  1_rcur 14311  Ringcrg 14349  LModclmod 14672  AssAlgcasa 15045  algSccascl 15047

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-sets 13408  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-sca 13496  df-vsca 13497  df-0g 13661  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-mgp 14267  df-ur 14312  df-ring 14351  df-lmod 14674  df-assa 15048  df-ascl 15050

This theorem is used by:  asclrhm  15082