ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjdivap Unicode version

Theorem cjdivap 10404
Description: Complex conjugate distributes over division. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
cjdivap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
* `  ( A  /  B ) )  =  ( ( * `  A )  /  (
* `  B )
) )

Proof of Theorem cjdivap
StepHypRef Expression
1 divclap 8206 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
2 cjcl 10343 . . . 4  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  (
* `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
* `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
4 simp2 945 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  B  e.  CC )
5 cjcl 10343 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  e.  CC )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
* `  B )  e.  CC )
7 simp3 946 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  B #  0 )
8 cjap0 10402 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B #  0  <->  ( * `  B ) #  0 ) )
94, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( B #  0  <->  ( * `  B ) #  0 ) )
107, 9mpbid 146 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
* `  B ) #  0 )
113, 6, 10divcanap4d 8324 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
( ( * `  ( A  /  B
) )  x.  (
* `  B )
)  /  ( * `
 B ) )  =  ( * `  ( A  /  B
) ) )
12 cjmul 10380 . . . . 5  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  (
( A  /  B
)  x.  B ) )  =  ( ( * `  ( A  /  B ) )  x.  ( * `  B ) ) )
131, 4, 12syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
* `  ( ( A  /  B )  x.  B ) )  =  ( ( * `  ( A  /  B
) )  x.  (
* `  B )
) )
14 divcanap1 8209 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
( A  /  B
)  x.  B )  =  A )
1514fveq2d 5322 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
* `  ( ( A  /  B )  x.  B ) )  =  ( * `  A
) )
1613, 15eqtr3d 2123 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
( * `  ( A  /  B ) )  x.  ( * `  B ) )  =  ( * `  A
) )
1716oveq1d 5681 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
( ( * `  ( A  /  B
) )  x.  (
* `  B )
)  /  ( * `
 B ) )  =  ( ( * `
 A )  / 
( * `  B
) ) )
1811, 17eqtr3d 2123 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
* `  ( A  /  B ) )  =  ( ( * `  A )  /  (
* `  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7409   0cc0 7411    x. cmul 7416   # cap 8119    / cdiv 8200   *ccj 10334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-2 8542  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339
This theorem is referenced by:  cjdivapi  10430  cjdivapd  10463
  Copyright terms: Public domain W3C validator