Theorem cjdivap 10936

Description: Complex conjugate distributes over division. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cjdivap	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( * ` ( A / B ) ) = ( ( * ` A ) / ( * ` B ) ) )

Proof of Theorem cjdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclap 8653	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( A / B ) e. CC )
2		cjcl 10875	. . . 4 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( * ` ( A / B ) ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( * ` ( A / B ) ) e. CC )
4		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> B e. CC )
5		cjcl 10875	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( * ` B ) e. CC )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( * ` B ) e. CC )
7		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> B # 0 )
8		cjap0 10934	. . . . 5 |- ( B e. CC -> ( B # 0 <-> ( * ` B ) # 0 ) )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( B # 0 <-> ( * ` B ) # 0 ) )
10	7, 9	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( * ` B ) # 0 )
11	3, 6, 10	divcanap4d 8771	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( ( * ` ( A / B ) ) x. ( * ` B ) ) / ( * ` B ) ) = ( * ` ( A / B ) ) )
12		cjmul 10912	. . . . 5 |- ( ( ( A / B ) e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( ( A / B ) x. B ) ) = ( ( * ` ( A / B ) ) x. ( * ` B ) ) )
13	1, 4, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( * ` ( ( A / B ) x. B ) ) = ( ( * ` ( A / B ) ) x. ( * ` B ) ) )
14		divcanap1 8656	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( A / B ) x. B ) = A )
15	14	fveq2d 5534	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( * ` ( ( A / B ) x. B ) ) = ( * ` A ) )
16	13, 15	eqtr3d 2224	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( * ` ( A / B ) ) x. ( * ` B ) ) = ( * ` A ) )
17	16	oveq1d 5906	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( ( * ` ( A / B ) ) x. ( * ` B ) ) / ( * ` B ) ) = ( ( * ` A ) / ( * ` B ) ) )
18	11, 17	eqtr3d 2224	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( * ` ( A / B ) ) = ( ( * ` A ) / ( * ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   CCcc 7827   0cc0 7829   x. cmul 7834   # cap 8556   / cdiv 8647   *ccj 10866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-2 8996  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871

This theorem is referenced by:  cjdivapi  10962  cjdivapd  10995