Theorem cjap0 11487

Description: A number is apart from zero iff its complex conjugate is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cjap0	|- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> ( * ` A ) # 0 ) )

Proof of Theorem cjap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8173	. . 3 |- 0 e. CC
2		cjap 11486	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( * ` A ) # ( * ` 0 ) <-> A # 0 ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) # ( * ` 0 ) <-> A # 0 ) )
4		cj0 11481	. . 3 |- ( * ` 0 ) = 0
5	4	breq2i 4095	. 2 |- ( ( * ` A ) # ( * ` 0 ) <-> ( * ` A ) # 0 )
6	3, 5	bitr3di 195	1 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> ( * ` A ) # 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2201   class class class wbr 4087   ` cfv 5325   CCcc 8032   0cc0 8034   # cap 8763   *ccj 11419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151  ax-pre-mulext 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-div 8855  df-2 9204  df-cj 11422  df-re 11423  df-im 11424

This theorem is referenced by:  cjdivap  11489  cjap0d  11528  recvalap  11677