ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjdivap GIF version

Theorem cjdivap 10889
Description: Complex conjugate distributes over division. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
cjdivap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjdivap
StepHypRef Expression
1 divclap 8611 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
2 cjcl 10828 . . . 4 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
31, 2syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
4 simp2 998 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 cjcl 10828 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
64, 5syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
7 simp3 999 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 # 0)
8 cjap0 10887 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 ↔ (∗‘𝐵) # 0))
94, 8syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (∗‘𝐵) # 0))
107, 9mpbid 147 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘𝐵) # 0)
113, 6, 10divcanap4d 8729 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) / (∗‘𝐵)) = (∗‘(𝐴 / 𝐵)))
12 cjmul 10865 . . . . 5 (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)))
131, 4, 12syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)))
14 divcanap1 8614 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
1514fveq2d 5514 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = (∗‘𝐴))
1613, 15eqtr3d 2212 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) = (∗‘𝐴))
1716oveq1d 5883 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) / (∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))
1811, 17eqtr3d 2212 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5211  (class class class)co 5868  cc 7787  0cc0 7789   · cmul 7794   # cap 8515   / cdiv 8605  ccj 10819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-2 8954  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824
This theorem is referenced by:  cjdivapi  10915  cjdivapd  10948
  Copyright terms: Public domain W3C validator