Theorem cjdivap 11415

Description: Complex conjugate distributes over division. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cjdivap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclap 8821	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
2		cjcl 11354	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
4		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		cjcl 11354	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
7		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 # 0)
8		cjap0 11413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 ↔ (∗‘𝐵) # 0))
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (∗‘𝐵) # 0))
10	7, 9	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘𝐵) # 0)
11	3, 6, 10	divcanap4d 8939	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) / (∗‘𝐵)) = (∗‘(𝐴 / 𝐵)))
12		cjmul 11391	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)))
13	1, 4, 12	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)))
14		divcanap1 8824	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
15	14	fveq2d 5630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = (∗‘𝐴))
16	13, 15	eqtr3d 2264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) = (∗‘𝐴))
17	16	oveq1d 6015	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) / (∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))
18	11, 17	eqtr3d 2264	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  0cc0 7995   · cmul 8000   # cap 8724   / cdiv 8815  ∗ccj 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-2 9165  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350

This theorem is referenced by:  cjdivapi  11441  cjdivapd  11474