Theorem cjdivap 11675

Description: Complex conjugate distributes over division. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cjdivap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclap 9008	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
2		cjcl 11613	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
4		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		cjcl 11613	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
7		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 # 0)
8		cjap0 11673	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 ↔ (∗‘𝐵) # 0))
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 # 0 ↔ (∗‘𝐵) # 0))
10	7, 9	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘𝐵) # 0)
11	3, 6, 10	divcanap4d 9126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) / (∗‘𝐵)) = (∗‘(𝐴 / 𝐵)))
12		cjmul 11650	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)))
13	1, 4, 12	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)))
14		divcanap1 9011	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
15	14	fveq2d 5699	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = (∗‘𝐴))
16	13, 15	eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) = (∗‘𝐴))
17	16	oveq1d 6100	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) / (∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))
18	11, 17	eqtr3d 2273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179   · cmul 8184   # cap 8909   / cdiv 9002  ∗ccj 11604

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-2 9363  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609

This theorem is used by:  cjdivapi  11701  cjdivapd  11734