ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjne0 Unicode version

Theorem cjne0 10710
Description: A number is nonzero iff its complex conjugate is nonzero. Also see cjap0 10709 which is similar but for apartness. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
cjne0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =/=  0  <->  ( * `  A )  =/=  0
) )

Proof of Theorem cjne0
StepHypRef Expression
1 0cn 7780 . . . 4  |-  0  e.  CC
2 cj11 10707 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  =  ( * `  0 )  <-> 
A  =  0 ) )
31, 2mpan2 422 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( * `  A
)  =  ( * `
 0 )  <->  A  = 
0 ) )
4 cj0 10703 . . . 4  |-  ( * `
 0 )  =  0
54eqeq2i 2151 . . 3  |-  ( ( * `  A )  =  ( * ` 
0 )  <->  ( * `  A )  =  0 )
63, 5bitr3di 194 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =  0  <->  ( * `  A )  =  0 ) )
76necon3bid 2350 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  =/=  0  <->  ( * `  A )  =/=  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481    =/= wne 2309   ` cfv 5129   CCcc 7640   0cc0 7642   *ccj 10641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-mulrcl 7741  ax-addcom 7742  ax-mulcom 7743  ax-addass 7744  ax-mulass 7745  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-1rid 7749  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-precex 7752  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758  ax-pre-mulgt0 7759  ax-pre-mulext 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-po 4224  df-iso 4225  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-reap 8359  df-ap 8366  df-div 8455  df-2 8801  df-cj 10644  df-re 10645  df-im 10646
This theorem is referenced by:  cjne0d  10749
  Copyright terms: Public domain W3C validator