ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnco GIF version

Theorem cnco 13388
Description: The composition of two continuous functions is a continuous function. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnco ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))

Proof of Theorem cnco
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 13368 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2 cntop2 13369 . . 3 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) → 𝐿 ∈ Top)
31, 2anim12i 338 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top))
4 eqid 2177 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
5 eqid 2177 . . . . 5 𝐿 = 𝐿
64, 5cnf 13371 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) → 𝐺: 𝐾 𝐿)
7 eqid 2177 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
87, 4cnf 13371 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
9 fco 5377 . . . 4 ((𝐺: 𝐾 𝐿𝐹: 𝐽 𝐾) → (𝐺𝐹): 𝐽 𝐿)
106, 8, 9syl2anr 290 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝐹): 𝐽 𝐿)
11 cnvco 4808 . . . . . . 7 (𝐺𝐹) = (𝐹𝐺)
1211imaeq1i 4963 . . . . . 6 ((𝐺𝐹) “ 𝑥) = ((𝐹𝐺) “ 𝑥)
13 imaco 5130 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) “ 𝑥) = (𝐹 “ (𝐺𝑥))
1412, 13eqtri 2198 . . . . 5 ((𝐺𝐹) “ 𝑥) = (𝐹 “ (𝐺𝑥))
15 simpll 527 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) ∧ 𝑥𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16 cnima 13387 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) ∧ 𝑥𝐿) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
1716adantll 476 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) ∧ 𝑥𝐿) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
18 cnima 13387 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐽)
1915, 17, 18syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) ∧ 𝑥𝐿) → (𝐹 “ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐽)
2014, 19eqeltrid 2264 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) ∧ 𝑥𝐿) → ((𝐺𝐹) “ 𝑥) ∈ 𝐽)
2120ralrimiva 2550 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → ∀𝑥𝐿 ((𝐺𝐹) “ 𝑥) ∈ 𝐽)
2210, 21jca 306 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → ((𝐺𝐹): 𝐽 𝐿 ∧ ∀𝑥𝐿 ((𝐺𝐹) “ 𝑥) ∈ 𝐽))
237, 5iscn2 13367 . 2 ((𝐺𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top) ∧ ((𝐺𝐹): 𝐽 𝐿 ∧ ∀𝑥𝐿 ((𝐺𝐹) “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
243, 22, 23sylanbrc 417 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) → (𝐺𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  wral 2455   cuni 3807  ccnv 4622  cima 4626  ccom 4627  wf 5208  (class class class)co 5869  Topctop 13162   Cn ccn 13352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-top 13163  df-topon 13176  df-cn 13355
This theorem is referenced by:  txcn  13442  cnmpt11  13450  cnmpt21  13458  hmeoco  13483
  Copyright terms: Public domain W3C validator