Theorem ctssdclemr 7077

Description: Lemma for ctssdc 7078. Showing that our usual definition of countable implies the alternate one. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctssdclemr	|- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )

Distinct variable groups:   A, f, s   A, n, s

Proof of Theorem ctssdclemr

Dummy variables g t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foeq1 5406	. . 3 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
2	1	cbvexv 1906	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
4		eqid 2165	. . . . . 6 |- { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) }
5		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( `'inl o. g ) = ( `'inl o. g )
6	3, 4, 5	ctssdccl 7076	. . . . 5 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
7		djulf1o 7023	. . . . . . . . 9 |- inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V )
8		f1ocnv 5445	. . . . . . . . 9 |- (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) -> `'inl : ( { (/) } X. _V ) -1-1-onto-> _V )
9		f1ofun 5434	. . . . . . . . 9 |- ( `'inl : ( { (/) } X. _V ) -1-1-onto-> _V -> Fun `'inl )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- Fun `'inl
11		vex 2729	. . . . . . . 8 |- g e. _V
12		cofunexg 6077	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun `'inl /\ g e. _V ) -> ( `'inl o. g ) e. _V )
13	10, 11, 12	mp2an 423	. . . . . . 7 |- ( `'inl o. g ) e. _V
14		foeq1 5406	. . . . . . 7 |- ( f = ( `'inl o. g ) -> ( f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A <-> ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
15	13, 14	spcev 2821	. . . . . 6 |- ( ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A -> E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A )
16	15	3anim2i 1176	. . . . 5 |- ( ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
17	6, 16	syl 14	. . . 4 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
18		omex 4570	. . . . . 6 |- om e. _V
19	18	rabex 4126	. . . . 5 |- { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } e. _V
20		sseq1 3165	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( s C_ om <-> { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om ) )
21		foeq2 5407	. . . . . . 7 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( f : s -onto-> A <-> f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
22	21	exbidv 1813	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( E. f f : s -onto-> A <-> E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
23		eleq2 2230	. . . . . . . 8 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( n e. s <-> n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
24	23	dcbid 828	. . . . . . 7 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> (DECID n e. s <-> DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
25	24	ralbidv 2466	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( A. n e. om DECID n e. s <-> A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
26	20, 22, 25	3anbi123d 1302	. . . . 5 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) ) )
27	19, 26	spcev 2821	. . . 4 |- ( ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
28	17, 27	syl 14	. . 3 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
29	28	exlimiv 1586	. 2 |- ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
30	2, 29	sylbi 120	1 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   {crab 2448   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   omcom 4567   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   "cima 4607   o. ccom 4608   Fun wfun 5182   -onto->wfo 5186   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188   1oc1o 6377   ⊔ cdju 7002  inlcinl 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013

This theorem is referenced by:  ctssdc  7078