ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctssdclemr Unicode version

Theorem ctssdclemr 7089
Description: Lemma for ctssdc 7090. Showing that our usual definition of countable implies the alternate one. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctssdclemr  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  ->  E. s ( s 
C_  om  /\  E. f 
f : s -onto-> A  /\  A. n  e. 
om DECID 
n  e.  s ) )
Distinct variable groups:    A, f, s    A, n, s

Proof of Theorem ctssdclemr
Dummy variables  g  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foeq1 5416 . . 3  |-  ( f  =  g  ->  (
f : om -onto-> ( A 1o )  <->  g : om -onto-> ( A 1o ) ) )
21cbvexv 1911 . 2  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  <->  E. g  g : om -onto->
( A 1o )
)
3 id 19 . . . . . 6  |-  ( g : om -onto-> ( A 1o )  ->  g : om -onto-> ( A 1o ) )
4 eqid 2170 . . . . . 6  |-  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A
) }  =  {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) }
5 eqid 2170 . . . . . 6  |-  ( `'inl 
o.  g )  =  ( `'inl  o.  g
)
63, 4, 5ctssdccl 7088 . . . . 5  |-  ( g : om -onto-> ( A 1o )  ->  ( { t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) }  C_  om 
/\  ( `'inl  o.  g ) : {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } ) )
7 djulf1o 7035 . . . . . . . . 9  |- inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) }  X.  _V )
8 f1ocnv 5455 . . . . . . . . 9  |-  (inl : _V
-1-1-onto-> ( { (/) }  X.  _V )  ->  `'inl : ( { (/) }  X.  _V ) -1-1-onto-> _V )
9 f1ofun 5444 . . . . . . . . 9  |-  ( `'inl
: ( { (/) }  X.  _V ) -1-1-onto-> _V  ->  Fun  `'inl )
107, 8, 9mp2b 8 . . . . . . . 8  |-  Fun  `'inl
11 vex 2733 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
12 cofunexg 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  `'inl  /\  g  e.  _V )  ->  ( `'inl  o.  g )  e. 
_V )
1310, 11, 12mp2an 424 . . . . . . 7  |-  ( `'inl 
o.  g )  e. 
_V
14 foeq1 5416 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( `'inl  o.  g )  ->  (
f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A
) } -onto-> A  <->  ( `'inl  o.  g ) : {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } -onto-> A
) )
1513, 14spcev 2825 . . . . . 6  |-  ( ( `'inl  o.  g ) : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A  ->  E. f  f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A
)
16153anim2i 1181 . . . . 5  |-  ( ( { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) }  C_  om 
/\  ( `'inl  o.  g ) : {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } )  ->  ( { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A
) }  C_  om  /\  E. f  f : {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } ) )
176, 16syl 14 . . . 4  |-  ( g : om -onto-> ( A 1o )  ->  ( { t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) }  C_  om 
/\  E. f  f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } ) )
18 omex 4577 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
1918rabex 4133 . . . . 5  |-  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A
) }  e.  _V
20 sseq1 3170 . . . . . 6  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( s  C_ 
om 
<->  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) }  C_  om ) )
21 foeq2 5417 . . . . . . 7  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( f : s -onto-> A  <->  f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A
) )
2221exbidv 1818 . . . . . 6  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( E. f  f : s
-onto-> A  <->  E. f  f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A
) )
23 eleq2 2234 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( n  e.  s  <->  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A
) } ) )
2423dcbid 833 . . . . . . 7  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  (DECID  n  e.  s 
<-> DECID  n  e.  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) } ) )
2524ralbidv 2470 . . . . . 6  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( A. n  e.  om DECID  n  e.  s  <->  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } ) )
2620, 22, 253anbi123d 1307 . . . . 5  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( (
s  C_  om  /\  E. f  f : s
-onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  <-> 
( { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  C_  om  /\  E. f  f : {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } ) ) )
2719, 26spcev 2825 . . . 4  |-  ( ( { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) }  C_  om 
/\  E. f  f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } )  ->  E. s ( s 
C_  om  /\  E. f 
f : s -onto-> A  /\  A. n  e. 
om DECID 
n  e.  s ) )
2817, 27syl 14 . . 3  |-  ( g : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. s
( s  C_  om  /\  E. f  f : s
-onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s ) )
2928exlimiv 1591 . 2  |-  ( E. g  g : om -onto->
( A 1o )  ->  E. s ( s 
C_  om  /\  E. f 
f : s -onto-> A  /\  A. n  e. 
om DECID 
n  e.  s ) )
302, 29sylbi 120 1  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  ->  E. s ( s 
C_  om  /\  E. f 
f : s -onto-> A  /\  A. n  e. 
om DECID 
n  e.  s ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 829    /\ w3a 973    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   _Vcvv 2730    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   omcom 4574    X. cxp 4609   `'ccnv 4610   "cima 4614    o. ccom 4615   Fun wfun 5192   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   1oc1o 6388   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025
This theorem is referenced by:  ctssdc  7090
  Copyright terms: Public domain W3C validator