Theorem ctssdclemr 7178

Description: Lemma for ctssdc 7179. Showing that our usual definition of countable implies the alternate one. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctssdclemr	|- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )

Distinct variable groups:   A, f, s   A, n, s

Proof of Theorem ctssdclemr

Dummy variables g t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foeq1 5476	. . 3 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
2	1	cbvexv 1933	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
4		eqid 2196	. . . . . 6 |- { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) }
5		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( `'inl o. g ) = ( `'inl o. g )
6	3, 4, 5	ctssdccl 7177	. . . . 5 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
7		djulf1o 7124	. . . . . . . . 9 |- inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V )
8		f1ocnv 5517	. . . . . . . . 9 |- (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) -> `'inl : ( { (/) } X. _V ) -1-1-onto-> _V )
9		f1ofun 5506	. . . . . . . . 9 |- ( `'inl : ( { (/) } X. _V ) -1-1-onto-> _V -> Fun `'inl )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- Fun `'inl
11		vex 2766	. . . . . . . 8 |- g e. _V
12		cofunexg 6166	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun `'inl /\ g e. _V ) -> ( `'inl o. g ) e. _V )
13	10, 11, 12	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( `'inl o. g ) e. _V
14		foeq1 5476	. . . . . . 7 |- ( f = ( `'inl o. g ) -> ( f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A <-> ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
15	13, 14	spcev 2859	. . . . . 6 |- ( ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A -> E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A )
16	15	3anim2i 1188	. . . . 5 |- ( ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
17	6, 16	syl 14	. . . 4 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
18		omex 4629	. . . . . 6 |- om e. _V
19	18	rabex 4177	. . . . 5 |- { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } e. _V
20		sseq1 3206	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( s C_ om <-> { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om ) )
21		foeq2 5477	. . . . . . 7 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( f : s -onto-> A <-> f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
22	21	exbidv 1839	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( E. f f : s -onto-> A <-> E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
23		eleq2 2260	. . . . . . . 8 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( n e. s <-> n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
24	23	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> (DECID n e. s <-> DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
25	24	ralbidv 2497	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( A. n e. om DECID n e. s <-> A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
26	20, 22, 25	3anbi123d 1323	. . . . 5 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) ) )
27	19, 26	spcev 2859	. . . 4 |- ( ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
28	17, 27	syl 14	. . 3 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
29	28	exlimiv 1612	. 2 |- ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
30	2, 29	sylbi 121	1 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   omcom 4626   X. cxp 4661   `'ccnv 4662   "cima 4666   o. ccom 4667   Fun wfun 5252   -onto->wfo 5256   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258   1oc1o 6467   ⊔ cdju 7103  inlcinl 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-1o 6474  df-dju 7104  df-inl 7113  df-inr 7114

This theorem is referenced by:  ctssdc  7179