Theorem ctssdclemr 7442

Description: Lemma for ctssdc 7443. Showing that our usual definition of countable implies the alternate one. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctssdclemr	|- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )

Distinct variable groups:   A, f, s   A, n, s

Proof of Theorem ctssdclemr

Dummy variables g t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foeq1 5606	. . 3 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
2	1	cbvexv 1974	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
4		eqid 2238	. . . . . 6 |- { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) }
5		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( `'inl o. g ) = ( `'inl o. g )
6	3, 4, 5	ctssdccl 7441	. . . . 5 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
7		djulf1o 7388	. . . . . . . . 9 |- inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V )
8		f1ocnv 5647	. . . . . . . . 9 |- (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) -> `'inl : ( { (/) } X. _V ) -1-1-onto-> _V )
9		f1ofun 5636	. . . . . . . . 9 |- ( `'inl : ( { (/) } X. _V ) -1-1-onto-> _V -> Fun `'inl )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- Fun `'inl
11		vex 2824	. . . . . . . 8 |- g e. _V
12		cofunexg 6328	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun `'inl /\ g e. _V ) -> ( `'inl o. g ) e. _V )
13	10, 11, 12	mp2an 430	. . . . . . 7 |- ( `'inl o. g ) e. _V
14		foeq1 5606	. . . . . . 7 |- ( f = ( `'inl o. g ) -> ( f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A <-> ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
15	13, 14	spcev 2920	. . . . . 6 |- ( ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A -> E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A )
16	15	3anim2i 1217	. . . . 5 |- ( ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
17	6, 16	syl 14	. . . 4 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
18		omex 4735	. . . . . 6 |- om e. _V
19	18	rabex 4275	. . . . 5 |- { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } e. _V
20		sseq1 3271	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( s C_ om <-> { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om ) )
21		foeq2 5607	. . . . . . 7 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( f : s -onto-> A <-> f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
22	21	exbidv 1878	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( E. f f : s -onto-> A <-> E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
23		eleq2 2302	. . . . . . . 8 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( n e. s <-> n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
24	23	dcbid 850	. . . . . . 7 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> (DECID n e. s <-> DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
25	24	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( A. n e. om DECID n e. s <-> A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
26	20, 22, 25	3anbi123d 1353	. . . . 5 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) ) )
27	19, 26	spcev 2920	. . . 4 |- ( ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
28	17, 27	syl 14	. . 3 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
29	28	exlimiv 1651	. 2 |- ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
30	2, 29	sylbi 121	1 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   omcom 4732   X. cxp 4767   `'ccnv 4768   "cima 4772   o. ccom 4773   Fun wfun 5366   -onto->wfo 5370   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372   1oc1o 6670   ⊔ cdju 7367  inlcinl 7375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-dju 7368  df-inl 7377  df-inr 7378

This theorem is referenced by:  ctssdc  7443