Theorem ctssdclemr 7290

Description: Lemma for ctssdc 7291. Showing that our usual definition of countable implies the alternate one. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctssdclemr	|- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )

Distinct variable groups:   A, f, s   A, n, s

Proof of Theorem ctssdclemr

Dummy variables g t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foeq1 5546	. . 3 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
2	1	cbvexv 1965	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
4		eqid 2229	. . . . . 6 |- { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) }
5		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( `'inl o. g ) = ( `'inl o. g )
6	3, 4, 5	ctssdccl 7289	. . . . 5 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
7		djulf1o 7236	. . . . . . . . 9 |- inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V )
8		f1ocnv 5587	. . . . . . . . 9 |- (inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) } X. _V ) -> `'inl : ( { (/) } X. _V ) -1-1-onto-> _V )
9		f1ofun 5576	. . . . . . . . 9 |- ( `'inl : ( { (/) } X. _V ) -1-1-onto-> _V -> Fun `'inl )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- Fun `'inl
11		vex 2802	. . . . . . . 8 |- g e. _V
12		cofunexg 6260	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun `'inl /\ g e. _V ) -> ( `'inl o. g ) e. _V )
13	10, 11, 12	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( `'inl o. g ) e. _V
14		foeq1 5546	. . . . . . 7 |- ( f = ( `'inl o. g ) -> ( f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A <-> ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
15	13, 14	spcev 2898	. . . . . 6 |- ( ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A -> E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A )
16	15	3anim2i 1210	. . . . 5 |- ( ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ ( `'inl o. g ) : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
17	6, 16	syl 14	. . . 4 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
18		omex 4685	. . . . . 6 |- om e. _V
19	18	rabex 4228	. . . . 5 |- { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } e. _V
20		sseq1 3247	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( s C_ om <-> { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om ) )
21		foeq2 5547	. . . . . . 7 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( f : s -onto-> A <-> f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
22	21	exbidv 1871	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( E. f f : s -onto-> A <-> E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A ) )
23		eleq2 2293	. . . . . . . 8 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( n e. s <-> n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
24	23	dcbid 843	. . . . . . 7 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> (DECID n e. s <-> DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
25	24	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( A. n e. om DECID n e. s <-> A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) )
26	20, 22, 25	3anbi123d 1346	. . . . 5 |- ( s = { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -> ( ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) ) )
27	19, 26	spcev 2898	. . . 4 |- ( ( { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } C_ om /\ E. f f : { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. { t e. om | ( g ` t ) e. (inl " A ) } ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
28	17, 27	syl 14	. . 3 |- ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
29	28	exlimiv 1644	. 2 |- ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
30	2, 29	sylbi 121	1 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   omcom 4682   X. cxp 4717   `'ccnv 4718   "cima 4722   o. ccom 4723   Fun wfun 5312   -onto->wfo 5316   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318   1oc1o 6561   ⊔ cdju 7215  inlcinl 7223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-dju 7216  df-inl 7225  df-inr 7226

This theorem is referenced by:  ctssdc  7291