ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctssdclemr Unicode version

Theorem ctssdclemr 7111
Description: Lemma for ctssdc 7112. Showing that our usual definition of countable implies the alternate one. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctssdclemr  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  ->  E. s ( s 
C_  om  /\  E. f 
f : s -onto-> A  /\  A. n  e. 
om DECID 
n  e.  s ) )
Distinct variable groups:    A, f, s    A, n, s

Proof of Theorem ctssdclemr
Dummy variables  g  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foeq1 5435 . . 3  |-  ( f  =  g  ->  (
f : om -onto-> ( A 1o )  <->  g : om -onto-> ( A 1o ) ) )
21cbvexv 1918 . 2  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  <->  E. g  g : om -onto->
( A 1o )
)
3 id 19 . . . . . 6  |-  ( g : om -onto-> ( A 1o )  ->  g : om -onto-> ( A 1o ) )
4 eqid 2177 . . . . . 6  |-  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A
) }  =  {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) }
5 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( `'inl 
o.  g )  =  ( `'inl  o.  g
)
63, 4, 5ctssdccl 7110 . . . . 5  |-  ( g : om -onto-> ( A 1o )  ->  ( { t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) }  C_  om 
/\  ( `'inl  o.  g ) : {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } ) )
7 djulf1o 7057 . . . . . . . . 9  |- inl : _V -1-1-onto-> ( { (/) }  X.  _V )
8 f1ocnv 5475 . . . . . . . . 9  |-  (inl : _V
-1-1-onto-> ( { (/) }  X.  _V )  ->  `'inl : ( { (/) }  X.  _V ) -1-1-onto-> _V )
9 f1ofun 5464 . . . . . . . . 9  |-  ( `'inl
: ( { (/) }  X.  _V ) -1-1-onto-> _V  ->  Fun  `'inl )
107, 8, 9mp2b 8 . . . . . . . 8  |-  Fun  `'inl
11 vex 2741 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
12 cofunexg 6110 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  `'inl  /\  g  e.  _V )  ->  ( `'inl  o.  g )  e. 
_V )
1310, 11, 12mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( `'inl 
o.  g )  e. 
_V
14 foeq1 5435 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( `'inl  o.  g )  ->  (
f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A
) } -onto-> A  <->  ( `'inl  o.  g ) : {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } -onto-> A
) )
1513, 14spcev 2833 . . . . . 6  |-  ( ( `'inl  o.  g ) : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A  ->  E. f  f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A
)
16153anim2i 1186 . . . . 5  |-  ( ( { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) }  C_  om 
/\  ( `'inl  o.  g ) : {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } )  ->  ( { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A
) }  C_  om  /\  E. f  f : {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } ) )
176, 16syl 14 . . . 4  |-  ( g : om -onto-> ( A 1o )  ->  ( { t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) }  C_  om 
/\  E. f  f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } ) )
18 omex 4593 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
1918rabex 4148 . . . . 5  |-  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A
) }  e.  _V
20 sseq1 3179 . . . . . 6  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( s  C_ 
om 
<->  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) }  C_  om ) )
21 foeq2 5436 . . . . . . 7  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( f : s -onto-> A  <->  f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A
) )
2221exbidv 1825 . . . . . 6  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( E. f  f : s
-onto-> A  <->  E. f  f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A
) )
23 eleq2 2241 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( n  e.  s  <->  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A
) } ) )
2423dcbid 838 . . . . . . 7  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  (DECID  n  e.  s 
<-> DECID  n  e.  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) } ) )
2524ralbidv 2477 . . . . . 6  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( A. n  e.  om DECID  n  e.  s  <->  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } ) )
2620, 22, 253anbi123d 1312 . . . . 5  |-  ( s  =  { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  ->  ( (
s  C_  om  /\  E. f  f : s
-onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  <-> 
( { t  e. 
om  |  ( g `
 t )  e.  (inl " A ) }  C_  om  /\  E. f  f : {
t  e.  om  | 
( g `  t
)  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } ) ) )
2719, 26spcev 2833 . . . 4  |-  ( ( { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) }  C_  om 
/\  E. f  f : { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  { t  e.  om  |  ( g `  t )  e.  (inl " A ) } )  ->  E. s ( s 
C_  om  /\  E. f 
f : s -onto-> A  /\  A. n  e. 
om DECID 
n  e.  s ) )
2817, 27syl 14 . . 3  |-  ( g : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. s
( s  C_  om  /\  E. f  f : s
-onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s ) )
2928exlimiv 1598 . 2  |-  ( E. g  g : om -onto->
( A 1o )  ->  E. s ( s 
C_  om  /\  E. f 
f : s -onto-> A  /\  A. n  e. 
om DECID 
n  e.  s ) )
302, 29sylbi 121 1  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  ->  E. s ( s 
C_  om  /\  E. f 
f : s -onto-> A  /\  A. n  e. 
om DECID 
n  e.  s ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2738    C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   omcom 4590    X. cxp 4625   `'ccnv 4626   "cima 4630    o. ccom 4631   Fun wfun 5211   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216   ` cfv 5217   1oc1o 6410   ⊔ cdju 7036  inlcinl 7044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-dju 7037  df-inl 7046  df-inr 7047
This theorem is referenced by:  ctssdc  7112
  Copyright terms: Public domain W3C validator