Theorem decltc 9743

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
declt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decltc.s	⊢ 𝐶 < ;10
decltc.l	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
decltc	⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Proof of Theorem decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 9730	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declt.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		declt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decltc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decltc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decltc.s	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
7		decltc.l	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	numltc 9740	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐶) < ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
9		dfdec10 9718	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
10		dfdec10 9718	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 = ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
11	8, 9, 10	3brtr4i 4141	1 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷

Syntax hints:   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135   · cmul 8137   < clt 8313  ℕ₀cn0 9501  ;cdc 9715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716

This theorem is referenced by:  declth  9744  3decltc  9747  2expltfac  13145