ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decmul1 GIF version

Theorem decmul1 9143
Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n 𝑁 = 𝐴𝐵
decmul1.0 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1.c (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
decmul1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1
StepHypRef Expression
1 10nn0 9097 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decmul1.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
3 decmul1.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decmul1.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 decmul1.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 9083 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2133 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8 decmul1.0 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
9 0nn0 8890 . . 3 0 ∈ ℕ0
103, 2nn0mulcli 8913 . . . . . 6 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
1110nn0cni 8887 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
1211addid1i 7821 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
13 decmul1.c . . . 4 (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
1412, 13eqtri 2133 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐶
15 decmul1.d . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
1615oveq2i 5737 . . . 4 (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (0 + 𝐷)
174, 2nn0mulcli 8913 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
1817nn0cni 8887 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
1918addid2i 7822 . . . 4 (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (𝐵 · 𝑃)
201nn0cni 8887 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
2120mul01i 8066 . . . . . 6 (10 · 0) = 0
2221eqcomi 2117 . . . . 5 0 = (10 · 0)
2322oveq1i 5736 . . . 4 (0 + 𝐷) = ((10 · 0) + 𝐷)
2416, 19, 233eqtr3i 2141 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((10 · 0) + 𝐷)
251, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24nummul1c 9128 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
26 dfdec10 9083 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2725, 26eqtr4i 2136 1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1312  wcel 1461  (class class class)co 5726  0cc0 7541  1c1 7542   + caddc 7544   · cmul 7546  0cn0 8875  cdc 9080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-sub 7852  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-5 8686  df-6 8687  df-7 8688  df-8 8689  df-9 8690  df-n0 8876  df-dec 9081
This theorem is referenced by:  sq10  10346
  Copyright terms: Public domain W3C validator