Theorem decmul1 9857

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.0	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1.c	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d	⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9810	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
3		decmul1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decmul1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 9792	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2259	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		decmul1.0	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
9		0nn0 9590	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	3, 2	nn0mulcli 9613	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 9587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12	11	addridi 8476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
13		decmul1.c	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
14	12, 13	eqtri 2259	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐶
15		decmul1.d	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
16	15	oveq2i 6099	. . . 4 ⊢ (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (0 + 𝐷)
17	4, 2	nn0mulcli 9613	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 9587	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
19	18	addlidi 8477	. . . 4 ⊢ (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (𝐵 · 𝑃)
20	1	nn0cni 9587	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
21	20	mul01i 8726	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 0) = 0
22	21	eqcomi 2242	. . . . 5 ⊢ 0 = (;10 · 0)
23	22	oveq1i 6098	. . . 4 ⊢ (0 + 𝐷) = ((;10 · 0) + 𝐷)
24	16, 19, 23	3eqtr3i 2267	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((;10 · 0) + 𝐷)
25	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24	nummul1c 9842	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
26		dfdec10 9792	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
27	25, 26	eqtr4i 2262	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191  ℕ₀cn0 9575  ;cdc 9789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790

This theorem is used by:  sq10  11173  2exp7  13244  37prm  13265  1259lem3  13274  1259lem4  13275  log2ublem3  16235  log2ublog2  16236  bpos1  16322