ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decmul1 GIF version

Theorem decmul1 9478
Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1.p 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n 𝑁 = 𝐴𝐵
decmul1.0 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1.c (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
decmul1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1
StepHypRef Expression
1 10nn0 9432 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decmul1.p . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
3 decmul1.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
4 decmul1.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 decmul1.n . . . 4 𝑁 = 𝐴𝐵
6 dfdec10 9418 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
75, 6eqtri 2210 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8 decmul1.0 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
9 0nn0 9222 . . 3 0 ∈ ℕ0
103, 2nn0mulcli 9245 . . . . . 6 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
1110nn0cni 9219 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
1211addid1i 8130 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
13 decmul1.c . . . 4 (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
1412, 13eqtri 2210 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐶
15 decmul1.d . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
1615oveq2i 5908 . . . 4 (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (0 + 𝐷)
174, 2nn0mulcli 9245 . . . . . 6 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
1817nn0cni 9219 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
1918addid2i 8131 . . . 4 (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (𝐵 · 𝑃)
201nn0cni 9219 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
2120mul01i 8379 . . . . . 6 (10 · 0) = 0
2221eqcomi 2193 . . . . 5 0 = (10 · 0)
2322oveq1i 5907 . . . 4 (0 + 𝐷) = ((10 · 0) + 𝐷)
2416, 19, 233eqtr3i 2218 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((10 · 0) + 𝐷)
251, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24nummul1c 9463 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
26 dfdec10 9418 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2725, 26eqtr4i 2213 1 (𝑁 · 𝑃) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1364  wcel 2160  (class class class)co 5897  0cc0 7842  1c1 7843   + caddc 7845   · cmul 7847  0cn0 9207  cdc 9415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-sub 8161  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-dec 9416
This theorem is referenced by:  sq10  10727
  Copyright terms: Public domain W3C validator