Theorem decmul1 9385

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.0	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1.c	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d	⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9339	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
3		decmul1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decmul1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 9325	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2186	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		decmul1.0	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
9		0nn0 9129	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	3, 2	nn0mulcli 9152	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 9126	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12	11	addid1i 8040	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
13		decmul1.c	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
14	12, 13	eqtri 2186	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐶
15		decmul1.d	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
16	15	oveq2i 5853	. . . 4 ⊢ (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (0 + 𝐷)
17	4, 2	nn0mulcli 9152	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 9126	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
19	18	addid2i 8041	. . . 4 ⊢ (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (𝐵 · 𝑃)
20	1	nn0cni 9126	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
21	20	mul01i 8289	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 0) = 0
22	21	eqcomi 2169	. . . . 5 ⊢ 0 = (;10 · 0)
23	22	oveq1i 5852	. . . 4 ⊢ (0 + 𝐷) = ((;10 · 0) + 𝐷)
24	16, 19, 23	3eqtr3i 2194	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((;10 · 0) + 𝐷)
25	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24	nummul1c 9370	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
26		dfdec10 9325	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
27	25, 26	eqtr4i 2189	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758  ℕ₀cn0 9114  ;cdc 9322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-dec 9323

This theorem is referenced by:  sq10  10625