Theorem decmul1 9143

Description: The product of a numeral with a number (no carry). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.0	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1.c	⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
decmul1.d	⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul1	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 9097	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
3		decmul1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decmul1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 9083	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2133	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		decmul1.0	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
9		0nn0 8890	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	3, 2	nn0mulcli 8913	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℕ0
11	10	nn0cni 8887	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12	11	addid1i 7821	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = (𝐴 · 𝑃)
13		decmul1.c	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = 𝐶
14	12, 13	eqtri 2133	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 0) = 𝐶
15		decmul1.d	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = 𝐷
16	15	oveq2i 5737	. . . 4 ⊢ (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (0 + 𝐷)
17	4, 2	nn0mulcli 8913	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 8887	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
19	18	addid2i 7822	. . . 4 ⊢ (0 + (𝐵 · 𝑃)) = (𝐵 · 𝑃)
20	1	nn0cni 8887	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
21	20	mul01i 8066	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 0) = 0
22	21	eqcomi 2117	. . . . 5 ⊢ 0 = (;10 · 0)
23	22	oveq1i 5736	. . . 4 ⊢ (0 + 𝐷) = ((;10 · 0) + 𝐷)
24	16, 19, 23	3eqtr3i 2141	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((;10 · 0) + 𝐷)
25	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 24	nummul1c 9128	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
26		dfdec10 9083	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
27	25, 26	eqtr4i 2136	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  (class class class)co 5726  0cc0 7541  1c1 7542   + caddc 7544   · cmul 7546  ℕ₀cn0 8875  ;cdc 9080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-sub 7852  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-5 8686  df-6 8687  df-7 8688  df-8 8689  df-9 8690  df-n0 8876  df-dec 9081

This theorem is referenced by:  sq10  10346