Theorem divap1d 8793

Description: If two complex numbers are apart, their quotient is apart from one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divclapd.3	|- ( ph -> B # 0 )
divap1d.4	|- ( ph -> A # B )

Assertion

Ref	Expression
divap1d	|- ( ph -> ( A / B ) # 1 )

Proof of Theorem divap1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divap1d.4	. . 3 |- ( ph -> A # B )
2		divcld.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
3		divcld.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
4		divclapd.3	. . . . 5 |- ( ph -> B # 0 )
5	3, 4	recclapd 8773	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / B ) e. CC )
6	3, 4	recap0d 8774	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / B ) # 0 )
7		apmul1 8780	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( ( 1 / B ) e. CC /\ ( 1 / B ) # 0 ) ) -> ( A # B <-> ( A x. ( 1 / B ) ) # ( B x. ( 1 / B ) ) ) )
8	2, 3, 5, 6, 7	syl112anc 1253	. . 3 |- ( ph -> ( A # B <-> ( A x. ( 1 / B ) ) # ( B x. ( 1 / B ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( A x. ( 1 / B ) ) # ( B x. ( 1 / B ) ) )
10	2, 3, 4	divrecapd 8785	. . 3 |- ( ph -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
11	10	eqcomd 2195	. 2 |- ( ph -> ( A x. ( 1 / B ) ) = ( A / B ) )
12	3, 4	recidapd 8775	. 2 |- ( ph -> ( B x. ( 1 / B ) ) = 1 )
13	9, 11, 12	3brtr3d 4052	1 |- ( ph -> ( A / B ) # 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900   CCcc 7844   0cc0 7846   1c1 7847   x. cmul 7851   # cap 8573   / cdiv 8664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665

This theorem is referenced by: (None)