Theorem divap1d 8730

Description: If two complex numbers are apart, their quotient is apart from one. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divclapd.3	|- ( ph -> B # 0 )
divap1d.4	|- ( ph -> A # B )

Assertion

Ref	Expression
divap1d	|- ( ph -> ( A / B ) # 1 )

Proof of Theorem divap1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divap1d.4	. . 3 |- ( ph -> A # B )
2		divcld.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
3		divcld.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
4		divclapd.3	. . . . 5 |- ( ph -> B # 0 )
5	3, 4	recclapd 8710	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / B ) e. CC )
6	3, 4	recap0d 8711	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / B ) # 0 )
7		apmul1 8717	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( ( 1 / B ) e. CC /\ ( 1 / B ) # 0 ) ) -> ( A # B <-> ( A x. ( 1 / B ) ) # ( B x. ( 1 / B ) ) ) )
8	2, 3, 5, 6, 7	syl112anc 1242	. . 3 |- ( ph -> ( A # B <-> ( A x. ( 1 / B ) ) # ( B x. ( 1 / B ) ) ) )
9	1, 8	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> ( A x. ( 1 / B ) ) # ( B x. ( 1 / B ) ) )
10	2, 3, 4	divrecapd 8722	. . 3 |- ( ph -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
11	10	eqcomd 2181	. 2 |- ( ph -> ( A x. ( 1 / B ) ) = ( A / B ) )
12	3, 4	recidapd 8712	. 2 |- ( ph -> ( B x. ( 1 / B ) ) = 1 )
13	9, 11, 12	3brtr3d 4029	1 |- ( ph -> ( A / B ) # 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   CCcc 7784   0cc0 7786   1c1 7787   x. cmul 7791   # cap 8512   / cdiv 8601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602

This theorem is referenced by: (None)