Theorem recclapd 8734

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
reccld.2	|- ( ph -> A # 0 )

Assertion

Ref	Expression
recclapd	|- ( ph -> ( 1 / A ) e. CC )

Proof of Theorem recclapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		reccld.2	. 2 |- ( ph -> A # 0 )
3		recclap 8632	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   CCcc 7806   0cc0 7808   1c1 7809   # cap 8534   / cdiv 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626

This theorem is referenced by:  apmul1  8741  divap1d  8754  qapne  9635  exp3val  10517  expmulzap  10561  resqrexlemnm  11020  isumdivapc  11429  fsumdivapc  11451  trireciplem  11501  geolim  11512  geolim2  11513  georeclim  11514  geoisumr  11519  clim2divap  11541  prodfdivap  11548  fprodrec  11630  fproddivap  11631  divcnap  13926  cdivcncfap  13958  redcwlpolemeq1  14662